Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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12) Detto parametro relativo ad un diametro di una parabola la co-
stante p', die figura nell'equazione Y^ = 2p' X della curva riferita a quel
diametro e alla tangente nell'estremo di esso, si dimostri col mezzo degli
invarianti che « in una parabola è costante il prodotto del parametro p'
relativo a un diametro per il quadrato del seno dell' angolo che quel dia-
metro forma colla relativa tangente, ed è uguale al parametro principale p
(relativo all'asse) ». Si ha dunque p' ^ p, e la differenza p' — p e uguale
al doppio della distanza dell' estremo del diametro dalla tangente nel
vertice.
13) Ogni coppia di diametri coniugati di una conica determina sopra
una tangente due punti, le cui distanze dal punto di contatto hanno un
prodotto costante ed uguale al quadrato del semidiametro parallelo alla
tangente. ( Si dimostri sia sinteticamente, sia analiticamente, riferendo la
curva al diametro che passa per il punto di contatto ed al coniugato).
14) Partendo dall' es. precedente, si giustifichi la seguente costruzione
(di Chasles) degli assi di una ellisse, di cui son noti in grandezza e posi-
zione due semidiametri coniugati OF, OQ. « Si conducano per P la paral-
lela e la perpendicolare ad Q, le quali risultano tangente e normale alla
conica in P sulla normale si prendano due segmenti PH ^=- PK = ; Q ;
il cerchio che passa per H, K ed 0, sega la tangente nominata in due
punti M, N che, congiunti con 0, danno, in posizione, gli assi (i quali sono
altresì bisettrici dell'angolo HOK). Per ottenere le grandezze 2 a, 2h di
questi, si osserverà che uno dei due segmenti OH, OK vale a -\- h, e
l'altro a — è (n." 252), donde segue una immediata costruzione.
IV. — 15) Nel punto P{x\ y') della conica ^ zt -p- = 1, riferita
agli assi, si conduca la normale, la quale seghi in JV, N' gli assi x, y. Si
dimostrino le uguaglianze PN = hh' : a, PN' = ah' : b, dove b' è la
lunghezza del semidiametro coniugato ad OP (es. 8)),; segue che « in una,
conica a centi'O i due segmenti di una qualsiasi normale, compresi fra il
piede (P) e gli assi, hanno un rapporto costante := b^ : a^, ed un prodotto
uguale al quadrato del semidiametro perpendicolare alla normale ».
16) La ricerca dei piedi P{x, y) delle normali ad una conica a centro K
uscenti da un dato punto 8 del piano, conduce a risolvere due equazioni
quadratiche in ic, y, delle quali una rappresenta la K, e l'altra una iper-
bole equilatera passante per 8, per il centro di X, ed avente gli asintoti
paralleli agli assi di K. Segue che « da un punto del piano si possono
condurre ad una conica quattro normali (di cui due almeno i-eali); i piedi
di esse sono le intersezioni della conica data con una certa iperbole equi-
latera » (Apollonio). Questa iperbole può generarsi come luogo della inter-
sezione di una retta variabile uscente da