Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 374 — noto della curva (n.*' 216); è invece di secondo grado nel caso generale seguente: Determinata una conica mediante cinque punti (^), costruire le sue intersezioni con una retta generica del piano. Determinata una conica mediante cinque tangenti, condurre ad essa le tangenti da un punto generico del piano. Limitandoci al problema di sinistra, da due A, B dei punti dati si proiettino i rimanenti tre C, D, E sulla retta data r ; si otterranno due terne di punti C'D'E\ C"D"E", le quali determinano una proiet- tività; siano U q V ì punti uniti di questa, se esistono. Allora le rette JL Z7, BTJ, e così pure le due AV, B V saranno omologhe nei due fasci proiettivi A(CDE...) A B{CDE...\ e quindi i punti Z7, V apparterranno alla nostra conica. Il problema ammette due soluzioni, una o nessuna (reale). Come caso particolare metrico del problema a sinistra, quando r è all' infinito, abbiamo : Verificare se la curva di secondo ordine, determinata da cinque punti dati, è una ellisse, una parahola o una iperbole. Esercizi (^) I. — 1) Corollari della costruzione delle coniche mediante fasci proiettivi sono i seguenti : a) è costante l'area del parallelogramma die ha due lati sopra gli asintoti di una iperbole ed un vertice variabile sulla curva; h) se da due punti fìssi di una iperbole si proietta sopra un asintoto un punto mobile lungo la curva, la distanza delle due proiezioni è costante; e) una iperbole ed i suoi asintoti determinano sopra ogni trasversale due segmenti aventi Jo stesso punto medio; in particolare, il tratto di tan- {}) Con una costruzione analoga si tratta il caso che la conica sia determinata mediante quattro punti e la tangente in uno di essi, o tre punti e le tangenti in due di essi. Dualmente per il problema di destra. ('^) Per le costruzioni di coniche definite da cinque elementi, v. gli esercizi in fine di questo Capitolo.
— 376 — gente ad una iperbole compreso fra gli asintoti è diviso per metà dal punto di contatto. 2) Corollari della costruzione delle coniche mediante punteggiate proiettive sono i seguenti : a) una tangente variabile ad una parabola sega sopra due tangenti fisse punteggiate simili ; h) è costante V area del triangolo formato dagli asintoti di una iperbole con una tangente variabile. 3) Mentre due fasci direttamente uguali (né sovrapposti, uè prospet- tivi) generano un cerchio, due fasci inversamente uguali (soddisfacenti alle stesse condizioni) generano una iperbole equilatera, le cui tangenti nei centri dei fasci sono parallele tra loro. Viceversa, i punti di una iperbole equilatera sono proiettati da due suoi punti, le cui tangenti siano parallele, mediante due fasci inversamente uguali. 4) Il luogo di un punto, da cui le due coppie di vertici opposti di un parallelogramma sono proiettate mediante coppie di rette appartenenti ad una involuzione simmetrica, è una iperbole equilatera circoscritta al parallelogramma. 5) Se un angolo di data grandezza si muove in un piano in guisa che il vertice descriva una retta fìssa ed un lato passi per un punto fisso, l' altro lato inviluppa una parabola che tocca pure la retta fissa. 6) Se due angoli ab, a'h' di data grandezza ruotano intorno ai loro vertici fissi S, S', in modo che il punto aa' percorra una retta, il punto bb' descriverà una conica passante per S, S'; {descrizione organica delle coniche di Ne'wton). 7) Il luogo dì un punto dal quale i vertici di un quadrangolo vengono proiettati mediante quattro rette formanti un doppio rapporto assegnato, è una conica circoscritta al quadrangolo ; come si costruisce la tangente in un vertice di questo, ed in conseguenza la curva? 8) Questione duale. In particolare: le rette sulle quali due angoli di un triangolo determinano due segmenti di dato rapporto, inviluppano una parabola iscritta nel triangolo ; per un punto del piano passano dunque al più due rette siffatte, ed una sola se il punto è improprio. 9) Dato un triangolo, condurre una retta sulla quale due angoli di quello intercettino due segmenti di lunghezza assegnata (n.° 70, es. 9) ). 10) Due triangoli iscritti in una conica sono circoscritti ad un'altra; e viceversa (cfr. n.° 215, es. 36)); (detti ABC, DEF i due triangoli, si considerino i due fasci proiettanti da ^ e jD gli altri quattro punti, e si seghino con BC, EF, rispettiv.; ecc.). 11) Due triangoli autopolari rispetto ad una conica sono iscritti in una seconda conica, e circoscritti ad una terza (cfr. n.° 215, es. 34)); (si consideri il fascio A{BCEF) e la punteggiata dei poli,...). II- — 12) Le coppie di punti segate sopra una conica dalle coppie di una involuzione in un fascio avente il vertice sulla curva, stanno su rette passanti per uno stesso plinto, polo della involuzione (cfr. n° 87, Oss.).
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 509 — se invece sta sopra xy^
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— 511 — Questa rappresenta un p
Page 531 and 532:
— 513 — allora, od esiste un si
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
Page 535 and 536:
— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
Page 541 and 542:
— 523 — Per calcolare il seno d
Page 543 and 544:
— 525 — Ora questi risultati, e
Page 545 and 546:
— 527 — Similmente si vede che
Page 547 and 548:
— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
Page 553 and 554:
— 535 — di geometria elementare
Page 555 and 556:
— 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558:
— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564:
— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
Page 577 and 578:
— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
Page 603 and 604:
— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
Page 625 and 626:
— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634:
— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
Page 645 and 646:
— 627 — zioni lineari fra i coe
Page 647 and 648:
— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
Page 651 and 652:
— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
Page 657 and 658:
— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
Page 663 and 664:
— 645 — lungo coniche, che hann
Page 665 and 666:
— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
Page 667 and 668:
— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
Page 677 and 678:
— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
Page 727 and 728:
— 709 — come risulta dall' Oss.
Page 729 and 730:
— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
Page 733 and 734:
— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
Page 741:
— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
Page 748 and 749:
— 730 — 35) Condizioni, perchè
Page 751 and 752:
INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
Page 753 and 754:
— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
show all

Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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