Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 274 — e l'equazione cartesiana (poiché gp = y = xtg-^- ~?^, tgq> = ^\ Posto y = 0, l'equazione darebbe un valore indeterminato per X. Tuttavia, come punto Y di partenza della curva dall'asse X (vertice), è naturale assumere il punto il cui raggio vettore è dato da 1 1 m z=r 1 1 m ^ = . q> = n (p z=.Q sen go n Il segmento terzo proporzionale dopo F ed A vale adunque ^- , ed è uguale al quadrante di cerchio. Questa ed altre simili applicazioni della curva alla rettificazione e quadra- tura del cerchio giustificano il nome dato ad essa. Esercizi I. — 1) Costruire per punti le curve rappresentate dalle seguenti equazioni in coordinate cartesiane ortogonali : t/ = -^- x^ {parabola)^ y = — (iperbole), y = x^ {parabola cubica), y^ = x^ {parabola semicubica), y = tg x {curva delle tangenti). 2) Costruire per punti le curve rappresentate dalle seguenti equazioni in coordinate polari {a essendo una costante qualsiasi): q ^^ a
i — 275 — 6) Un' altra generazione della lemniscata si ottiene partendo da un cerchio e da due sue tangenti ortogonali secantisi in un punto 0, condu- cendo per una trasversale variabile clie seghi il cerchio in ili", iV, e prendendo su questa i due segmenti OP = — F' = MN ; il luogo dei punti P, P' è una lemniscata. 7) Se sopra una trasversale variabile, condotta per un punto fisso di un cerchio, si portano, a partire dalla seconda intersezione M col cerchio, due segmenti MP = — MP' uguali ad un segmento costante /, i punti P e P' descrivono una curva del quarto ordine, detta concoide del cercldo lumaca di Pascal. Nello studiare la forma della curva si distinguano i tre casi l ^= 2r^ essendo r il raggio del cerchio; per l = 2r la curva dicesi pure cardioide. 8) La lumaca di Pascal può pure definirsi come il luogo dei piedi delle perpendicolari calate da un punto fisso sopra le tangenti ad un cerchio qualsiasi {podaria del punto rispetto al cerchio). La nuova costruzione si liconduce alla precedente, ove si consideri il cerchio che ha per diametro la distanza di dal centro del cerchio nominato nell' ultima costruzione. 9) La curva inversa della lumaca di Pascal rispetto al punto è una curva di secondo ordine, di cui si dimostra che è un fuoco (n." 162). Invertendo questa osservazione si ha una terza definizione di quella cui'va. 10) Un segmento iVf iV, di lunghezza costante a, scorre coi suoi estremi lungo due rette ortogonali x, y uscenti da 0. Siano P e Q i piedi delle perpendicolari calate sul segmento da e dal quarto vertice del rettangolo avente i lati OM, ON. I punti P e Q descrivono due curve del sesto ordine, delle quali la prima (che passa con quattro rami per 0) dicesi rosa a quattro foglie, mentre la seconda (non passante per 0) dicesi astroide. L'equazione di quest' ultima può porsi sotto la forma semplice x'^^ -\- y ^ =: a -^ Si dimostra col Calcolo differenziale che 1" astroide ha come tangente in ogni suo punto la relativa posizione della retta MN partendo di qua, si \ scriva la equazione pliickeriana dell'inviluppo (di quarta classe) delle tangenti all' astroide. 11) Un punto P il quale vari in modo che le sue distanze da due punti fissi A, B siano legate da una relazione lineare aPA -{- bPB — e {a, b, e costanti), descrive una curva del quarto ordine detta ovali di Cartesio. 12) Data una circonferenza con due diametri ortogonali x, y, da un estremo del primo si conduca una trasversale variabile che seghi y in M e il cerchio nuovamente in N, poi si conducano da M, N le parallele ad aj, y rispettivamente ; il luogo del punto d'incontro di queste è una curva del terzo ordine. III. — 13) Se un cerchio di raggio r ruota senza strisciare sulla periferia di un cerchio fisso di raggio R, un punto di quello descrive una curva detta epicicloide od ipocicloide, secondo che i due cerchi si toccano esternamente od internamente. Misurando il rotolamento mediante la lunghezza R(p = r'tf> dell' arco variabile del cerchio fisso e del cerchio mobile che viene percorso .
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
Page 543 and 544:
— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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