Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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asintoti; la involuzione è ellittica od iperbolica, secondo che la
conica è una ellisse od una iperbole (^). Tutto ciò segue subito
da un teorema del n.° 205, applicato al centro della curva.
Due diametri coniugati e la retta alF infinito, polare del
centro, formano un triangolo autopolare rispetto alla conica; e
viceversa, se un triangolo autopolare ha un lato all'infinito, gli
altri due sono diametri coniugati. Di qua, e da un teorema del
n.° 206, segue che due diametri coniugati di una ellisse reale
sono entrambi secanti (com'è del resto ogni diametro della
ellisse), mentre di due diametri coniugati distinti di una iperbole,
uno è secante ( o trasverso ), e l' altro non secante ( o non
trasverso).
Sotto l' aspetto analitico si osservi che i due diametri
m{a^^x + a^^y + a^^z) -f- n (a^^x + a^y + a^^z) = 0,
m'{a^^x -\- a^^y -\- a^^z) -\- n'{a^^x -\- a^^y -\- a^^z) = 0,
della conica (1) (n,° 232) sono coniugati, se il polo (wz, n, 0)
del primo appartiene al secondo, cioè se
od anche
a^^mm' -j- a^^{mn' -\- m'n) ~\- a^-^nn' = 0,
m m' .
f m .
m'
\ .
" n n \ n n J
_
donde si ricava nuovamente (n.*' 81) che i diametri coniugati
formano una involuzione, le cui rette doppie (asintoti) si otten-
Di qui sarebbe facile ritrovare l' equa-
gono ponendo ^ = -^ .
zione complessiva (6) degli asintoti.
La definizione permette, dato un diametro, di costruire il
coniugato. D' altra parte, nella costruzione di coppie di diametri
coniugati, giovano talora le seguenti proposizioni, che discendono
dai teoremi del n° 209 sul quadrangolo iscritto o sul quadrilatero
circoscritto ad una conica, quando si introduca la ipotesi che
un lato del triangolo, o trilatero diagonale sia all'infinito:
Le linee mediane di un parallelogramma iscritto in una
conica sono diametri coniugati. Le diagonali dì un parallelogramma
circoscritto sono pure diametri coniugati.
Q) Si ha qui la ragione dell'aggettivo ellittica o iperbolica^ attribuito
ad una involuzione.