Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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La proposizione è caso particolare di un celebre teorema sulle
coniche dovuto a Pascal (cfr. n.° 16, es. 16), e n.° 37, es. 10));
del quale teorema un altro caso particolare è la proposizione
del n.° 70, Oss. II.
Esercizi I. — 1) Data 1' equazione di una proiettività tra forme so-
vrapposte, calcolarne la caratteristica; condizione perchè la caratteristica
valga — 1.
2) Se due proiettività P e Q hanno gli stessi elementi uniti, la proiet-
ha pure quegli elementi uniti, ed ha come caratte-
tività prodotto jP • Q
ristica il prodotto delle caratteristiche ài JP e Q. Si concluda che nella
ipotesi fatta q P • Q = Q P-^ P q Q diconsi permutabili.
3) In una proiettività ABC... -a A'B'C ... tra due forme sovrap-
poste, se un elemento descrive la prima forma nel verso ABC, l'elemento
corrispondente descrive la seconda forma nel verso A'B'C {n.° 58); se i
due versi coincidono la proiettività dicesi concorde, se sono opposti dicesi
discorde. Data la proiettività mediante l'equazione axx' -j- . . . = 0, si di-
mostri che si presenta l' uno o l' altro caso, secondo che il determinante
ad — /3/ è positivo o negativo (n.' 63; 27, es. 6)). E si concluda che una
proiettività discorde (ossia una proiettività avente la potenza negativa) è
sempre iperbolica.
4) Che una proiettività discorde sia iperbolica, si dimostra facilmente
mediante considerazioni intuitive (che potrebbero rendersi rigorose), considerando
due elementi corrispondenti mobili che descrivano le due forme,
ed esaminando ove essi si incontrano. Considerazioni analoghe provano
che una proiettività concorde è pure iperbolica, quando esista nell' una
forma un tratto M . . . N, il quale contenga interamente il tratto M' . . . N'
che gli corrisponde sull' altra forma.
5) Quando di due punteggiate proiettive sovrapposte siano noti i
punti limite J, I' e due punti corrispondenti A, A', per costruire i punti
uniti si conducano due segmenti JM = JA, l'M' = l'A' perpendicolari
al sostegno comune, e diretti in uno stesso verso o in verso opposto, se-
condo che JA ed l'A' hanno segno opposto od uguale. La circonferenza
descritta su MM' come diametro passa per i punti uniti richiesti. Si
deduca di qua nuovamente che una proiettività avente la potenza nega-
tiva è certo iperbolica.
6) Dati due fasci propri proiettivi di un piano, costruire le rette
dell' uno che sono parallele alle rette corrispondenti dell' altro.
II — 7) Se A, B, C, D sono quattro punti armonici di una circonfe-
renza, le tangenti al cerchio in A e B si segano sulla retta CD, e le tangenti
in C e D si segano su AB ; se una di queste due condizioni è soddisfatta,
è soddisfatta anche l' altra, ed i quattro punti sono armonici.
8) Dati tre punti A, B, C, costruire la proiettività y^^,^ ) ; quale ne è la
caratteristica ? Supposti i punti sopra una circonferenza, dalla costruzione
dell' asse di proiettività si deduca che « un triangolo iscritto in un cerchio