Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 108 — a tre elementi del sostegno comune, considerati nell' una forma, si facciano corrispondere gli elementi stessi, considerati nell'altra forma (n.° 62), segue che una proiettività tra due forme sovrapposte^ la quale abbia tre elementi uniti, ha ogni altro elemento unito ed è la identità. 67. Posizione prospettiva dì forme proiettive. — Due forme proiettive possono assumere altre posizioni notevoli dette posizioni prospettive. Per quanto riguarda due forme di nome diverso, noi già dicemmo (n/ 10,57) che esse dìconsì prospettive (e son certo proiettive), quando una di esse è proiezione o sezione dell'altra, di guisa che elementi corrispondenti sempre si appartengono. Si dice inoltre che due forme dello stesso nome giacenti in uno stesso piano, (e riferite proiettivamente) sono prospettive nei seguenti casi, che si corrispondono per dualità piana quando due punteggiate sono ottenute segando uno stesso fascio di rette con due trasversa- li, in guisa che le rette congiun- genti punti corrispondenti delle due punteggiate passano tutte per uno stesso punto (centro di prospettiva). Due punteggiate prospettive hanno unito il punto comune ai loro sostegni. quando due fasci di rette sono ottenuti proiettando una stessa ^sunteggiata da due centri diversi, in guisa che i punti di incontro di rette corrispondenti dei due fasci stanno tutti sopra una stessa retta {asse di prospettiva). Due fasci prospettivi hanno unita la retta congiungente i loro centri.
— 109 — E importante notare che qiTest' ultima osservazione si in- verte. Infatti: Se due punteggiate riferite proiettivamente, non sovrapposte, hanno uìi punto unito, esse sono prospettive. Se due fasci di rette {di un jìiano) riferiti proiettivamente, non sovrapposti, hanno una retta unita, essi sono prospettivi. Dimostriamo, ad es., la proposizione di sinistra. Posto che la proiettivita fra le punteggiate u ed u' sia (1) AB CD... TV A'B'C'D' ..., e che A = A' sia il punto unito, consideriamo la intersezione S delle rette BE' e C C. Proiettando da S i punti di u sopra u', otteniamo una proiettivita che muta i punti A, B, C di u nei punti A', B', C di u', e che coincide quindi colla proiet- tività (1) (n." 62). Segue che i punti D, . . . di u hanno per proiezioni, da >S', i punti D' , . . . di m', cioè che le rette DD'. . . . passano tutte per lo stesso punto -S^ {centro di prospettiva). Osserrazioue. — Dalla definizione segue che la relazione prospettiva fra due forme dipende dalla mutua posizione delle forme stesse. Due forme prospettive, o meglio due forme proiettive in posizione prospettiva, rimangono proiettive, ma perdono generalmente la posizione prospettiva, quando i loro sostegni vengano spostati 1" uno rispetto all' altro. Inversamente due punteggiate o due fasci di rette proiettivi, ma non prospettivi, possono esser sempre portati in tale posizione da divenir prospettivi; giacché basta col- locare le due forme in uno stesso piano, ed in guisa che un elemento pre- fìsso dell'una venga a coincidere coli' elemento corrispondente dell'altra, senza che le forme si sovrappongano. Segue ancora che due forme prospettive ad una terza non sono generalmente prospettive tra loro, ma soltanto proiettive; si può dire che il prodotto di due o più prospettività non è in generale una prospettività, ma solo una proiettività. 68. Costruzione dì proiettirità tra forme di prima specie. — Le proposizioni del n°. precedente ci mettono in grado di risolvere graficamente, nel modo più semplice, il seguente Problema. — Determinata una proiettività tra due forme di prima specie, colV assegnare di tre elementi deW una i tre elementi corrispondenti delV altra forma, di ogni quarto elemento della prima forina costruire il corrispondente elemento della seconda. Ci limiteremo alla ipotesi che le due forme stiano in uno stesso piano, e siano ambedue punteggiate u, u' colle terne
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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e fatto z - 263 —
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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— 285 — e viceversa^ ed ogni re
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 341 — l'equazione della tange
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— 351 — e sega pure il secondo
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— 355 — e si noti che, quando M
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— 371 — Segando il primo fascio
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 379 — una conica è iscritta
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— 415 — dove p è una costante
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- e\c -j- Q cos f) = —
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I — 451 — dei segmenti cosi ott
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— 453 — 38) Da questo teorema e
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— 457 — il piano di K' intorno
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
Page 553 and 554:
— 535 — di geometria elementare
Page 555 and 556:
— 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558:
— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564:
— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634:
— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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