Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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che presenta tanto interesse nello studio delle coniche. Giova
qui, per procedere nel modo più semplice, partire dal concetto
di coniche confocali^ e cercare 1' equivalente nello spazio.
Ricordiamo perciò (n." 262) che quelle coniche formano
una schiera, alla quale appartiene, come conica inviluppo de-
genere, la coppia dei punti ciclici. Ora, similmente, possiamo
formare la schiera di quadriche (n." 369), che è determinata
da una quadrica generica assegnata e dal cerchio assoluto, ri-
guardato come quadrica limite^ ossia quadrica inviluppo dege-
nere ; tutte le quadriche della schiera si diranno confocali. In
altre parole : due quadriche si dicono confocali^ se della schiera
che le contiene fa parte il cerchio assoluto.
Le numerose proprietà delle quadriche confocali si ottengono
subito, ricordando ie proprietà proiettive delle schiere di
quadriche (n." 369), e tenendo conto della particolarità metrica,
che caratterizza la schiera, di cui ora vogliamo occuparci. Ma
per procedere nel modo più completo, cominceremo collo sta-
bilire le equazioni delle quadriche confocali.
punti ;
Partiamo dall' equazione di una quadrica in coordinate di
supporremo, per semplicità, ridotta la equazione a forma
normale, e lascieremo da parte per il momento il caso dei pa-
raboloidi. Non occorre invece distinguere tra le varie specie
di quadriche a centro, giacché, come vedremo, ogni schiera di
quadriche a centro confocali contiene ellissoidi ed iperboloidi delle
due specie. Possiamo dunque, senza introdurre restrizioni, sup-
porre che la superficie data sia un ellissoide reale
(1) 4 + -& + 4 = 1,
^ ^
a-' b-' e-'
i cui assi riterremo scelti in guisa, che sia
(2) a > 6 > e;
(veniamo cosi ad escludere il caso delle quadriche rotonde, che
presenta minor interesse). Il nostro ellissoide, considerato come
inviluppo di piani, ha (n.° 388) l'equazione
(3) a^u' + 62z;2 -f c^w'^ = 1.
D' altra parte, l'assoluto è rappresentato, in coordinate di
piani, da
(4) u' + ?;2 + w;2 = 0,