Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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una coordinata nota k = {ABEF) ; mentre i due elementi
incogniti X, Y avranno coordinate incognite x, y. Le condizioni
a cui devono soddisfare X, Y,
{ABXY) =. - 1, (EFXY) = - 1
si traducono nelle due equazioni
(± 00, 0, a:;, 2/) = — 1, (1, A:, x, y) = — 1,
le quali, scritte per disteso, danno (cfr. n.' 43, 50)
(1)
X = — y
k + xy - ^ (k + l){x + y) =.= 0;
però alla (2), tenendo conto della (1), si può sostituire la
equazione
(2') ^2 ^ f,^
donde si trae
^ = ^i- Vk, y = zf:\/J^
i
E indifferente prendere nelle due espressioni, ad un tempo,
segni superiori, o i segni inferiori, visto che X, Y godono
uffici scambievoli nel problema trattato.
Concludiamo che se k = (ABEF) è positivo, ossia (n.° 39)
se le due coppie AB, EF non si separano, esiste una coppia
di elementi + J/A:, — \/k, che dividono armonicamente le due
coppie date; se è A; < 0, e quindi le due coppie AB, EF si
separano, il problema non ammette soluzioni; se finalmente è
A; = 0, oA:=±Qo,e quindi le due coppie AB, EF hanno
un elemento comune, questo elemento, contato due volte, dà
con AB (ò con EF due gruppi armonici degeneri. Limitandoci
""
ai primi due casi, diremo :
Date sopra una forma di
prima specie due coppie di ele-
menti, esiste non esiste una
{unica) coppia che divide armo-
nicamente quelle, secondo che le
due coppie date non si separano
si separano.
Risolveremo ora grafica-
mente il problema, trattando
il caso che A, B, E, F siano punti di una punteggiata propria
u. Supposto per il momento di conoscere i punti cercati X, Y
,