Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 236 — contengono A;, dai termini indipendenti dal parametro, la (1) assume la nota forma (ax + 62/ + e) 4- k(a'x -f h'y -f e') = 0; qui k è coordinata proiettiva della retta corrispondente. In generale, se la fé funzione algebrica, razionale, intera, di grado n in x, y, nei cui coefficienti entri linearmente il parametro /e, la (1) può scriversi sotto la forma 'p(^, y) + ^v(a^, y) — 0, dove 9) e t/> sono funzioni razionali intere di grado non superiore ad n (una almeno di grado w). Il sistema prende allora il nome di fascio dì curve à^ ordine n. Ci occuperemo in seguito del caso n = 2. 145. Concetto generale di sistema di coordinate nel piano. — Si abbiano ora due sistemi di curve, rappresentati dalle equazioni (1) f(x, 2/; A:) = 0, (2) (x, y-hi) = 0; a due nuovi valori k^, h^ corrisponderanno le curve f^^ gog? ecc. Ora, se accade che per ogni punto P situato in una certa regione del piano passi una sola curva di ciascuno dei due sistemi, quei valori /e, h dei parametri che spet- tano rispettivamente alle due curve passanti per P, possono assumersi come coordinate del punto P in un nuovo sistema di coordinate. Dato P, sono determinate le sue coordinate; mentre, date queste, riman- gono determinate in corrispondenza tante posizioni di P, quanti sono i punti di quella regione in cui si segano due curve, l'una del primo, r altra del secondo sistema. I punti per i quali la prima coordinata k ha un valore costante, appartengono ad una curva
— 237 — del primo sistema; i punti per cui è costante h, appartengono ad un curva del secondo sistema. Le equazioni (1), (2) stabi- liscono le relazioni fra le antiche coordinate a;, v/, ad es. cartesiane, e le nuove à;, h ; risolvendo quelle equazioni rispetto a k ed 7?, o rispetto ad x ed y, si otterrebbero le formole di passaggio dall'uno all'altro sistema. E facile vedere che il sistema di coordinate (k, h) qui de- finito comprende, come casi particolari, i sistemi visti sinora. Se infatti i due sistemi (1) e (2) sono fasci impropri, o propri, di rette, si otterrà (scegliendo convenientemente i parametri) l'ordinario sistema di coordinate cartesiane, o il sistema delle coordinate proiettive. Se invece l' un sistema si compone di cer- chi di centro comune 0, e l'altro di rette uscenti da 0, per modo che, in coordinate cartesiane ortogonali, le (1) e (2) assumano le forme particolari a;2 J_ y% _ ^2 _ 0, y __ _^^g^ _ Q^ dove questa volta i parametri sono indicati con (> e y), si avrà in corrispondenza il sistema di coordinate polari (^, (p)\ le ultime equazioni danno infatti le formole di passaggio fra il sistema cartesiano e il sistema polare (n.° 123). 146. Luogo delle intersezioni di curve corrispondenti in due dati sistemi. — Riprendiamo i due sistemi di curve (ì) e (2) del n.° precedente, i quali definiscono un sistema di coordinate (A:, il) nel piano. Se fra k ed li stabiliamo una relazione analitica ip(k, h) ^= 0, questa ci rappresenterà un luogo geometrico (n.° 137), il luogo di quei punti che colle loro nuove coordinate (A-, h) soddisfano alla detta relazione. Limitiamoci ad esaminare un caso particolare ; supponiamo che questa relazione sia l' uguaglianza k = h, scriviamo adun- que nelle (1), (2), al posto di k ed h, uno stesso valore, sia k. In tale ipotesi, i punti del luogo sono i punti comuni alle due curve (3) f(x, ?/; k) = 0, . (4)
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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dove si è posto per brevità — 7
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 355 — e si noti che, quando M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 453 — 38) Da questo teorema e
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— 457 — il piano di K' intorno
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— 459 — quella affinità che tr
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— 463 — 12) n prodotto di due a
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- 470 — dove si suppone precisame
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 499 — e la terza coordinata {
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
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— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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