Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 660 — certo -due diametri reali r, s coniugati e perpendicolari tra loro, che sono assi della conica (n° 236). Consideriamo ora il triedro reale, trirettangolo, prs: esso è autoconiugato rispetto alla superficie (n.° 377); ciascuna faccia dunque divide per metà le corde parallele allo spigolo opposto, cioè perpendicolari alla faccia stessa ; ciascuna faccia è, in conseguenza, un piano principale della superficie. E si hanno cosi i tre piani principali, che una quadrica, in generale, possiede. Concludiamo : Una quadrica a centro possiede tre piani principali reali, i quali costituiscono un triedro trirettangolo, autoconiugato rispetto alla superficie. E questa, in generale, la sola terna di piani diametrali mutuamente coniugati e perpendicolari. Gli spigoli del triedro, cioè i diametri coniugati e perpendicolari ai singoli piani principali, sono assi della superficie (n.° 378) ; vertici diconsi i punti, ove gli assi segano la quadrica. Il piano tangente alla quadrica in un vertice è perpendicolare al relativo asse. Gli assi ed i vertici, situati in un piano principale, sono assi e vertici per la conica sezione principale della quadrica con quel piano. Osservazione. — Il teorema e le considerazioni precedenti sussistono anche per i coni a vertice proprio. Ogni cono sif- fatto possiede tre piani reali di simmetria, o piani principali, passanti per il vertice. I piani principali di una quadrica a centro sono pure piani principali del cono asintotico. 380. Piani principali di un paraboloide. — Esaminiamo, in secondo luogo, il caso dei paraboloidi. Riprendiamo l'equazione (5) A(k) = del n.° 378, ed osserviamo che, nella ipotesi attuale, la (5) ha una radice ki = 0, perchè il termine noto A^^, della (5') si annulla, quando la quadrica è un paraboloide (n.° 370, Oss.). Sostituiamo ora la radice ki = 0, al posto di k, nelle (4) del n.° 378 ; esse divengono ( 0^11^ -\- ai^ni -j- ann = 0, (4') < «21^ -\- ai^m -{- a^^n = 0, ( «31? + «32 w -[- a^^n z=i 0, e coesistono, nel nostro caso, per valori non tutti nulli di l, m, n. Calcolati questi valori^ formiamo con essi 1' equazione (3')
— 661 — del n.° 378^ la quale rappresenta, secondo la teoria generale, un piano principale. Attualmente però la (3'), tenuto conto delle (4'), diviene Ox -\- Oij -j- Oz -{- (a^l -\- a.^m -\- az^n) = 0, e rappresenta (supposto non nullo il trinomio tra parentesi, con che vengono scartati i cilindri, n.° 373) il piano all'infinito, come risulta introducendo coordinate omogenee. Un tal piano si riguarda però come una soluzione estranea del problema, e ci si limita a considerare i due piani principali, pro- venienti dalle due radici non nulle della (5). Che questi siano reali, risulta dalla considerazione geometrica seguente, oltre che dal teorema algebrico menzionato alla fine del n.° 378. Ricordando che i diametri di un paraboloide sono tutti paralleli tra loro, consideriamo i piani perpendicolari ad essi, e costruiamo il diametro p, che è coniugato a quei piani ; esso sarà un asse, anzi il solo asse del paraboloide (n.° 378). L' asse sega il paraboloide in un punto proprio, detto vertice^ ove il piano tangente è normal'e all'asse, e nel centro all'infinito della quadrica. Sia poi n uno dei piani perpendicolari a 2?, e sia K la conica segata da esso sulla superficie, conica che ha il centro nel punto proprio pn (v. fig. di pag. 655). Se r ed s sono gli assi, certo reali, di A', e i?^, 8^^ sono i loro punti all'infinito, sappiamo già (n.'' 370) che i piani polari di R.^^ 8^^ sono () = pò', a ^ pr. Questi piani, essendo dunque rispettivamente coniugati e normali alle rette r, ,s, sono i piani principali del paraboloide. Osservando che essi sono coniugati e perpendicolari tra loro, concludiamo : Un paraboloide possiede^ in generale^ due piani principali reali, che sono coniugati e perpendicolari tra loro ; essi si segano lungo un diametro^ detto asse, che e coniugato ai piani perpendicolari ad esso. Osservazione. — Le considerazioni precedenti si applicano, con qualche modificazione, ai cilindri. E chiaro però, diretta- mente, che un cilindro ammette come piani di simmetria ogni piano normale alle generatrici, ed i piani paralleli a queste condotti per gli assi di una sezione normale. Di questi ultimi piani ve n' è uno solo, se la sezione è una parabola (cilindro parabolico), ve ne son due, se è una conica a centro (cilindro
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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dove si è posto per brevità — 7
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 115 — u'. 1 punti M, 0, N si
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— 117 — 71. Elementi uniti di u
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— 121 — proiettività parabolic
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— 123 — A, B, C . . . della cir
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— 125 — Se nella proiettività
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— 127 — è omologico al triango
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— 133 — cìenti delle (4). Con
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— 135 — il teorema duale) la in
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— 137 — la involuzione appartie
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— 139 — Se Z7 è punto doppio d
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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— 233 — curva, e si riguarderan
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— 259 — superiori o inferiori.
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e fatto z - 263 —
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— 265 — delle note disuguaglian
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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i — 307 — reale), q^ = q^, giac
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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l — 313 — 17) Due piani simili
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— 315 — tutti per uno stesso pu
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 319 — nate della retta p', ch
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 323 — dremo nella teoria dell
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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— 333 — La prima definisce il p
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 339 — 1) Si formino le deriva
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— 341 — l'equazione della tange
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— 345 — 304. Metodo delle polar
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— 347 — F (u^ V, w), come la co
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— 349 b) Le intersezioni di una c
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— 351 — e sega pure il secondo
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— 353 — dai quali si conducano
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— 355 — e si noti che, quando M
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I — 357 — zioni della retta VP
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— 363 — gli ortocentri dei quat
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i — 367 — a, 6' le tangenti in
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— 369 — Queste proposizioni, di
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— 371 — Segando il primo fascio
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 379 — una conica è iscritta
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— 415 — dove p è una costante
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— 417 — nelle (a), basterà far
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— 419 — caso. Ma si può chiede
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— 421 — Un terzo invariante si
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— 423 — dunque: nel passaggio d
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— 425 — nelle quali le incognit
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— 427 — 252. Teoremi di Apollon
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— 429 — 3) Scrivere l' equazion
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— 431 — 17) Dati sulla conica A
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— 433 — diagonale PQ; queste pe
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— 435 — Capitolo V. Proprietà
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— 443 — è indipendente dalla c
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- e\c -j- Q cos f) = —
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- 470 — dove si suppone precisame
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— 472 — sistema di coordinate p
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— 482 — II. Sia data una riga a
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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— 486 — sarà noto a priori (ca
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— 490 — 278. Il problema della
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— 492 — 6) Retta generica del f
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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497 — Parte Quarta. Geometria ana
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— 499 — e la terza coordinata {
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— 501 — Indicando i tre denomin
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— 503 — Viceversa : ogni equazi
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— 505 — 287. Condizione di para
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(!') — 507 — 289. Equazioni di
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— 509 — se invece sta sopra xy^
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— 511 — Questa rappresenta un p
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— 513 — allora, od esiste un si
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
Page 535 and 536:
— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
Page 553 and 554:
— 535 — di geometria elementare
Page 555 and 556:
— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
Page 627 and 628: — 609 — 345. Per costruire il p
Page 629 and 630: — 611 — P', mentre il coefficie
Page 631 and 632: — 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634: — 615 — questa ipotesi sarà so
Page 635 and 636: — 617 — Due rette siffatte, in
Page 637 and 638: — 619 — quadrica in un punto R
Page 639 and 640: — 621 — una quadrica : due pian
Page 641 and 642: — 623 — esso pure alla quadrica
Page 643 and 644: — 625 — p' ed ì piani n' della
Page 645 and 646: — 627 — zioni lineari fra i coe
Page 647 and 648: — 629 — goli collo stesso verti
Page 649 and 650: — 631 — cano in P la quadrica,
Page 651 and 652: — 633 — Cosi continuando, vedia
Page 653 and 654: — 635 — Segue inoltre che il pr
Page 655 and 656: — 637 — Dualmente, se i sostegn
Page 657 and 658: — 639 — Esse passano tutte per
Page 659 and 660: — 641 — g) / vertici dei quattr
Page 661 and 662: — 643 — autoconiugato rispetto
Page 663 and 664: — 645 — lungo coniche, che hann
Page 665 and 666: — 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
Page 667 and 668: — 649 — %• 1 (^))> o può non
Page 669 and 670: — 651 — che si riconosce essere
Page 671 and 672: — 653 — di centro, i paraboloid
Page 673 and 674: — 655 — 2^0 ) della quadrica (n
Page 675 and 676: — 657 — triangolo, insieme al c
Page 677: — 659 — Concludiamo che una qua
Page 681 and 682: k — 663 — Ritornando al problem
Page 683 and 684: — 665 — drangolo ; ed è autopo
Page 685 and 686: — 667 — 4) Date le equazioni di
Page 687 and 688: — 669 - a) Supposto anzitutto che
Page 689 and 690: — 671 — rappresentante un cono
Page 691 and 692: — 673 — mentre k cresce in valo
Page 693 and 694: — 675 — Il piano y =: iavece se
Page 695 and 696: — 677 — 387. Iperboloide a due
Page 697 and 698: — 679 — il piano polare di ques
Page 699 and 700: — 681 — mente che la quarta coo
Page 701 and 702: questa, colla traslazione di assi a
Page 703 and 704: — 685 — Per procurarci le equaz
Page 705 and 706: — 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
Page 707 and 708: — 689 — Se invece avessimo adop
Page 709 and 710: — 691 — Osservazione. — Abbia
Page 711 and 712: Le ultime due ci danno — 693 —
Page 713 and 714: — 695 — sicché il paraboloide
Page 715 and 716: — 697 — Ora questo teorema può
Page 717 and 718: — 699 — 2) Ogni iperboloide rif
Page 719 and 720: — 701 — dri siffatti» (cfr. n.
Page 721 and 722: — 703 — perfide. Ora, se -ST è
Page 723 and 724: — 705 — quattro fasci impropri
Page 725 and 726: — 707 — centro dell'ellissoide.
Page 727 and 728: — 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
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— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
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— 747 — 362. Quadriche a punti
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Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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