Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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6) Date due punteggiate proiettive su rette distinte ti, u' di un piano,
e data inoltre nel piano una retta .9, che non i)assi per uu', determinare due
centri di proiezione S, S ' tali, die i fasci proiettanti quelle punteggiate rie-
scano prospettivi coli' asse di prospettiva s. Il problema ammette infinite
soluzioni, e precisamente esistono due rette, luoghi rispettivamente dei
punti S, S', sulle quali i punti S, S' si corrispondono proiettivamente.
Caso particolare che s sia 1' asse di proiettività delle m, u' ; caso che sia la
retta all'infinito. Questione duale nel piano.
II- ~ 7) Se ABC . . , A'B'C .
. .
. , sono due punteggiate simili, giacenti
sopra due rette distinte m, u' di un piano, secantisi in un punto proprio 0,
sussistono le seguenti proprietà : a) il luogo del vertice opposto ad nei pa-
rallelogrammi costruiti sulle coppie di lati
è una retta; b) il luogo del punto medio dei
A, A' , oppure OB,OB' ... ,
segmenti AA', BB', . . . congiungenti
punti omologhi, è una seconda retta, parallela alla precedente;
e) se per si conducono i segmenti OA^, OBg. . . paralleli ed eguali (anche
nel verso) ai segmenti AA', BB',...,i punti • • • ^o, ^o, stanno tutti
sopra una terza retta; d) i cerchi circoscritti ai triangoli OAA', OBB', .
,
hanno in comune (oltre 0) un secondo punto S; e) i triangoli SAA',
SBB' .
. sono simili . tra loro; f) la punteggiata A'B'C . . . può esser por-
tata in posizione prospettiva rispetto alla punteggiata 4 jBC, .. , purché il
piano di quella si faccia ruotare intorno ad S di un angolo conveniente,
mentre la retta u rimane fissa.
8) Se le punteggiate ABC..., A'B'C ..., sono uguali, sussistono
le proprietà precedenti, ed inoltre il punto S si trova sulle perpendicolari
ai segmenti AA', B B' , ... nei loro punti medi, per modo che la rotazione
sopra nominata porta Tuna punteggiata a coincidere coli' altra.
9) Date due punteggiate simili ABC, ... , A'B'C
. . , situate su due
.
rette di un piano, trovare due punti omologhi X, X' la cui distanza XX'
sia uguale in valore assoluto ad un dato segmento; quante soluzioni può
avere il problema ? come si costruiscono due punti omologhi delle due pun-
teggiate, la distanza dei quali sia minima ?
III. — 10) Le rette congiungenti punti corrispondenti di due pun-
teggiate proiettive a sostegni sghembi formano un tal sistema, che ogni
retta secante tre di quelle, sega tutte le altre ; (si proiettino infatti le due
punteggiate da una delle dette secanti ; n." 66). Teorema duale nello spazio.
11) Le infinite rette che incontrano tre rette date, sghembe a due a due,
determinano punteggiate proiettive su queste ; quelle adunque formano un
sistema -S"' tale, che ogni retta secante tre rette dì 2', sega tutte le altre.
Le rette secanti ora nominate formano alla lor volta un nuovo sistema
2 (a cui appartengono anche le rette date), il quale gode le stesse pro-
prietà di H'. Due rette di uno stesso sistema sono sghembe tra loro, due
rette di sistemi diversi si segano; ciascun sistema (e subordinatamente
anche l' altro ) è determinato da tre delle sue rette. Due sistemi come 2 e
2' sono, ad es., quelli appartenenti ad un iperboloide rotondo ad una
falda, di cui parla l'es. 15) del n.° 16).
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