Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

— 421 —
Un terzo invariante si ottiene in modo analogo, determinando
À in guisa che la conica corrispondente K si scinda in
due rette. Se infatti si ricorre all'equazione di K in x, y, si trova
la condizione (n.° 211)
«21 + ÀCOSXy a22 -\- ^ «23 = 0,
dn a32 «33
ossia, sviluppando e indicando con C il coefficiente della prima
potenza di A che poco interessa,
(10) «33 sen-xy • >l- + Cà -f- A = 0,
dove J. è il discriminante della (1). Similmente, partendo dal-
l'equazione di K in X, r, si ottiene
(10') «'33 sen^XF • r- + C'Jl -f
^' = 0,
dove J.' è il discriminante della (3). Esprimendo la propor-
zionalità tra i coefficienti della (10) e (10'), ricordando che
«33 = «'33, e notando che questa quantità può sempre sup-
porsi diversa da zero (visto che, in caso opposto, è lecito ag-
giungere una stessa costante non nulla ai due membri della
identità (7) ), si ottiene un terzo invariante (^)
(11)
(12)
A A'
sen^xy sen^XF
Vediamo cosi che le tre espressioni
(^n -\- «22 — 2«i2 COSXy «11 «22 — CLiì^
'
' \^nrt)
aa-n"^ 'Y'rii
SQn^'xy ' ' sen'^xy oQ-n2, sen'^xy
non variano quando mutano gli assi, restando ferma F origine.
Vogliamo ora dimostrare che esse rimangono immutate anche
per una traslazione di assi. Fatto ciò, la stessa conclusione
varrà per ogni trasformazione di coordinate cartesiane, la quale
può sempre decomporsi in una trasformazione coli' origine fìssa,
seguita da una traslazione. Ora, che le prime due espressioni (12)
non si alterino per una traslazione di assi, segue dal fatto che i
(^) Si potrebbe anche scrivere l' uguaglianza 5— =r -—- • ' 00 sen^xy sen^XF '
ma
questa ha poco interesse, giacché l'espressione a primo membro si altera
per una traslazione di assi, mentre, come vedremo, le tre espressioni (9)
e (11) sono invarianti rispetto alle traBlazioni.