Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 296 — Osservazione I. — Da questo teorema, analogo a quello del n.° 67 sulle punteggiate prospettive, si deduce similmente che si può sempre passare dalVuno alV altro di due piani collineari, mediante un numero finito di proiezioni e sezioni. Lasciamo al lettore la cura di dimostrare tale proprietà, seguendo le traccie indicate nell'es. 14) dopo il n.° 185. Osservazione II. — Facendo ruotare uno, ?r', di due piani prospettivi ic, ti' intorno alla comune intersezione u (senza che le figure di tt' subiscano alterazioni), i piani rimangono collineari e conservano, come uniti, tutti i punti di m; quindi sono sempre prospettivi rispetto ad un centro, che si muove al variare di n ' (cfr. n.° 185, es. 11)). Quando però, dopo una conveniente rotazione, il piano ti' viene ad adagiarsi su tt, non potremo più chiamare prospettivi i due piani, almeno nel senso sopra adottato; ma dovremo dire che i due piani sovrapposti sono ancora collineari, ed hanno come uniti tutti i punti di una retta u, senza che per questo siano uniti tutti gli altri punti dei piani stessi. A questo particolar caso di collineazione {omologia) conducono anche le considerazioni seguenti. 177. Forme collineari sovrapposte. — Occupiamoci ora degli elementi uniti di una collineazione tra forme sovrapposte. Vale il seguente teorema: 8e in una collineazione tra due forme di 2" specie sovrapposte, sono uniti quattro elementi dello stesso nome, dei quali tre qualunque non appartengano ad una forma di prhna specie, ogni altro elemento è unito, e la collineazione è una identità. Infatti, se i quattro elementi uniti sono A, B, C, D, noi sappiamo (n.° 168) che esiste una sola collineazione, la quale fa corrispondere ad A, B, C, D, considerati come elementi della prima forma, gli elementi stessi nella seconda forma. Ma una collineazione soddisfacente a queste condizioni è evidentemente V iden- tità, che fa corrispondere ad ogni elemento l'elemento stesso: dunque la nostra collineazione è l'identità. Se quindi dalle nostre ricerche escludiamo la identità, la ipotesi di quattro elementi omonimi uniti in una collineazione porta di conseguenza, che almeno tre fra quelli, ad es. A, B, C, appartengono ad una stessa forma di prima specie, la quale allora avrà unito ogni altro elemento (n.° 175). All' infuori di
— 297 — questa forma, vi sarà al più un ulteriore elemento unito dello stesso nome di A, B, C. 178. Omologia piana. — Limitandoci allo studio delle coUineazioni (non identiche) fra due piani sovrapposti ti, n ', siamo così condotti ad esaminare le ipotesi che siano uniti tutti i punti di una retta, o tutte le rette di un fascio. Le due ipotesi non differiscono però, in virtù del seguente teorema: Se in una collineazione, non identica, fra due piani sovrapposti sono uniti tutti i punti di una retta, sono pure unite tutte le rette di un fascio; e viceversa. Basterà dimostrare la proposizione diretta, poiché da questa si deduce l'inversa per dualità piana. Sia u la retta luogo di punti uniti; presi due punti corrispondenti distinti A, A' nei piani ji, n', e detto U il punto (unito) in cui la congiun- gente A A' sega u, si osservi che alla retta AZI di n corrisponde in ti' la retta A'U, cioè la retta stessa. E dunque unita ognuna delle infinite rette congiungenti punti omologhi distinti; e di qua segue (n.° 177), poiché la collineazione non è l'identità, che sono unite tutte le rette di un fascio, e. d. d. Dicesi omologia {piana) una collineazione, non identica, fra due piani sovrapposti, in cui sono uniti tutti i punti di una retta e tutte le rette di un fascio; quella retta, luogo di punti uniti, dicesi asse di omologia, ed il punto, centro del fascio di rette unite, dicesi centro di omologia (^). In una omologia piana, di centro 8 ed asse u, sono uniti tutti i punti dell'asse u, ed il centro 8 (generalmente esterno ad u), perchè in 8 si segano due, anzi infinite rette unite (n.° 175); e sono unite tutte le rette per il centro ^S*, e l'asse u. All' infuori di questi, l'omologia non possiede altri elementi uniti. {}) Che esistano coUineazioni siffatte risulta per ora dalla Oss. II. del n." 176, dove l'asse di omologia è la retta m, intorno a cui uno dei due piani prospettivi si è fatto ruotare; e dalle considerazioni del n." 13, dove due piani sovrapposti n. n\ proiezioni di uno stesso terzo piano tto da due centri distinti S, S', risultano omologici, essendo asse e centro di omologia le tracce di n^ e di SS' sul piano ji ^^ ti'.
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 121 — proiettività parabolic
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— 137 — la involuzione appartie
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— 139 — Se Z7 è punto doppio d
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— 141 — La involuzione circolar
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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— 492 — 6) Retta generica del f
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
Page 535 and 536:
— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
Page 541 and 542:
— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
Page 553 and 554:
— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564:
— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
Page 741:
— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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