Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 160 — mente dalle altre rette), il sistema stesso presenta qualche difetto quando si voglia adoperare nello studio delle proprietà proiettive, in cui non si fa differenza fra elementi propri od impropri. Vedremo in seguito come tale difetto si possa evitare introducendo una terza coordinata. Capitolo I. Relazioni di posizione fra punti e rette. 99. Punto che divide un segmento in un dato rapporto. — Tratteremo ora, col mezzo delle coordinate cartesiane, i princi- pali problemi di geometria piana; e cominceremo a studiare le relazioni fondamentali di posizione fra punti e rette, insieme ad alcune proprietà metriche che più si avvicinano alle grafi- che ( 1). In questo primo gruppo di questioni, le formole a cui giungeremo, non contengono l'angolo formato dagli assi coordi- nati, il quale sarà dunque fissato ad arbitrio; e le unità di lunghezza relative ai due assi (le quali servono a misurare rispettivamente le ascisse e le ordinate) potranno anche sup- porsi diverse tra loro, sebbene d'ordinario si prendano uguali. {PxP,F) =z P.P Proponiamoci anzitutto il problema: Dati due punti mediante le loro coordinate, deterìninare le coordinate di unpunto allineato con quelli, e formante con essi un rapporto semplice assegnato. Siano P,(xi, yi), P.i{x., y.) i punti dati, P(x, y) il punto della retta F1P2, formante coi punti dati il rapporto semplice noto (1) Sono precisamente quelle proprietà metriche che si riattaccano alla nozione di retta all'infinito, ma non a quella di punti ciclici, come ad es. il parallelismo, il rapporto semplice di tre punti allineati, ecc. r.
— 161 — Proiettiamo i punti Pi, P2, P su ciascuno degli assi dal punto all'infinito dell'altro asse. Otterremo le due terne di punti A1A2A sopra X e B^B^B sopra y\ e sarà r = (PiP.P) = (A^AU) = (BiB^^B). Ora le ascisse di Ai e A2 sono rispettivamente x^, x^^\ quindi l'ascissa di A, o, ciò che fa lo stesso, di P, sarà (n.° 32) __ x^ — rxi ^ Similmente si calcola l' ordinata di P, e si 1 — ' r conclude che le coordinate richieste di P sono (1) :. = ^^ll, y = = yy-J^JI'.. Ponendo — /• versi sotto la forma ^ , mX]^ ) X — , \L . I quelle coordinate possono anche scri- -f- nx^ m?/i -f- ny.^, ~' y — '< ^ ^ m -\- n m -\- n In particolare: il punto medio del segmento P\Po ha le coordinate X, ^ X, __ y^ 4^?/o . " •^ — 9 y — > 9 il coniugato armonico di P rispetto a P1P.2 è determinato da ^ — 1 _f-> "' y — rjsy-- 100. Condizione di allineamento di tre punti. — Se nelle (1) varia r, variano in corrispondenze x, y, ed il punto P (x, y) descrive la retta PxPj] viceversa, per ogni posizione di P su quella retta si può trovare un valore di r = (P^P^P), tale che le (1) diano le coordinate di P. Dunque la condizione perchè tre punti dati P {x^ y), Pi (^n 2/1)? Pi (^2, 2/2) siano allineati, è che le (1) coesistano per uno stesso valore di r, ossia che i due valori di r rica- vati dalle (1) siano uguali fra loro: od anche (2) X — x \ y — y i X — x% y — 2/2 X — xi y — yi xi — X2 yi — 2/2 La (2) può pure scriversi sotto la forma (2') (re — xi){yi — y%) — (y — yi){xi — X2) = 0, la quale (come si verifica direttamente) dà la condizione di 11
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— espili ampia che chiameremo A^]
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dove si è posto per brevità — 7
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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e fatto z - 263 —
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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l — 313 — 17) Due piani simili
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 341 — l'equazione della tange
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— 355 — e si noti che, quando M
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 379 — una conica è iscritta
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— 415 — dove p è una costante
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— 421 — Un terzo invariante si
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 449 — rette formanti fascio c
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I — 451 — dei segmenti cosi ott
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— 453 — 38) Da questo teorema e
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— 457 — il piano di K' intorno
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
Page 553 and 554:
— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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