Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 502 — Di qua è facile ricavare la condizione perchè quattro punti siano in un piano. Infatti, dette ora x, y, z le coordinate (4) del punto Q, e indicato con k il denominatore comune delle (4), abbiamo le uguaglianze k = m -f- n -{- Pi kx = mxi -f- nx2 ~\- px-s, ky — myi + w?/2 + Py^> kz = mzi -\- nz2 -\- pzs, le quali devono coesistere per valori non tutti nulli di k, w, n, p, se il punto Q(.r, y, z) sta sul piano P1P2 P3; e viceversa. La condizione analitica, perchè ciò accada, è 1' annullarsi del determinante formato coi coefficienti di k^ m, n, p in quelle equazioni, ossia (scambiando linee e colonne) (5) In parole : Affinchè quattro punti stiano in un piano, è necessario e sufficiente che si annulli il determinante (5) formato colle coordinate dei putiti e colle unità (^). 284. Equazione di un piano. — Se si considerano come variabili x, y, 0, e come costanti gli altri elementi, l'equazione (5) è soddisfatta dalle coordinate di ogni punto del piano, che con- tiene ipunti (.xi, /yi. Zi), (iC2, 2/2? •2^2), (oc^, 2/3, z^), e non dalle coordinate di un punto esterno. La (5) dicesi perciò equazione del piano congiungente i tre punti nominati (^). Sviluppando la (5) secondo gli elementi della prima oriz- zontale, si ottiene una equazione del tipo (6) ax -\- hy -\- cz -\- d =:^ 0. Dunque : un piano è rappresentato da una equazione di primo grado nelle coordinate cartesiane di un punto variabile, che lo descriva. x
— 503 — Viceversa : ogni equazione di primo grado in coordinate cartesiane x, y, z rappresenta un piano; si dimostra in modo analogo a quello tenuto per le rette in geometria piana (n.° 101). 285. Posizioni particolari di uii piano rispetto agli assi. — Consideriamo il piano (1) ax -\- bìj -^ cz ~\~ d =z 0, e determiniamone le intersezioni cogli assi coordinati. Se ci occupiamo, ad es., dell' asse x, ricorderemo che per ogni punto di esso è ?/ =: 0, z = 0] sostituendo questi valori nella (1), otteniamo (2) ax -[- d = 0, . ^ d da CUI X = : il punto ricJiiesto è dunque A(— '' , 0, 0). Vanno considerati però alcuni casi particolari Se 6? = 0, la (2) è certo soddisfatta da a? = (ossia la (1) è soddisfatta da 2; = 0, = JJ 0, z ^ 0)] segue che un piano passa per r origine, quatido nella sua equazione manca il termine noto. Se invece è d ^ ed a = 0, la (2) non è soddisfatta da valori finiti di X, ed il piano (1), la cui equazione diventa by -{- cz -]- d =:z 0, risulta parallelo all'asse x. Finalmente, se sono nulli a e d, la, (2) è soddisfatta qua- lunque sia X, ed il piano (1), la cui equazione si riduce a passa per 1' asse x. by -f- cz = 0, Raccogliendo gli ultimi due casi, diremo : ;^e nell'equazione di un piano manca una coordinata, il piano è parallelo al cor- rispondente asse; se manca inoltre il termine noto, l'asse stesso giace nel piano.
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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— 3 — IIF. Lo spazio di piani,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 17 — E sembra appunto che gli
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— 25 — nel piano PSA, devono se
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— 27 — due trilateri omologici
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— 29 — problema generalmente no
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— 35 — Noi possiamo far ciò se
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— 41 — '23, 34 . . . tutti ugua
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— espili ampia che chiameremo A^]
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— 47 — Col metodo da n ad n -]-
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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dove si è posto per brevità — 7
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— 85 — notiamo che il punto med
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— so- sia divisa armonicamente da
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— 107 — da u' ad u. Il punto uu
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 115 — u'. 1 punti M, 0, N si
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— 133 — cìenti delle (4). Con
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— 135 — il teorema duale) la in
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— 141 — La involuzione circolar
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— 151 — distanza. Qua!' è il m
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— 153 — ed è iperbolica, parab
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 159 — vertice, saranno negati
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— 161 — Proiettiamo i punti Pi,
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— 163 — la quale esprime che i
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— 165 — ad es. sotto la forma (
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— 167 — e la medesima relazione
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— 171 - gnano polinomi contenenti
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— 175 — si può costruire una s
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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— 181 — determinare. Ricordiamo
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— 185 — questa convenzione cost
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— 189 — Pi Q, si inverta il ver
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— 191 — Osseryazìone. — La c
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— 193 — un punto (n.° 89), rif
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— 195 — torno chiuso curvilineo
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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— 201 — Esercìzi. — 1) Come
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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— 233 — curva, e si riguarderan
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— 261 - punti B, B' di ordinate y
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e fatto z - 263 —
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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i — 275 — 6) Un' altra generazi
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— 279 — proiettino da S, S' uno
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— 285 — e viceversa^ ed ogni re
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I — 287 — (dove Aik ^ il comple
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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l — 313 — 17) Due piani simili
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 319 — nate della retta p', ch
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 323 — dremo nella teoria dell
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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— 333 — La prima definisce il p
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 339 — 1) Si formino le deriva
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— 341 — l'equazione della tange
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— 349 b) Le intersezioni di una c
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— 355 — e si noti che, quando M
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I — 357 — zioni della retta VP
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— 363 — gli ortocentri dei quat
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i — 367 — a, 6' le tangenti in
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— 369 — Queste proposizioni, di
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— 371 — Segando il primo fascio
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 379 — una conica è iscritta
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— 383 — tre coniche degenen (a
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— 395 — dove À, fi. V sono par
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— 399 — La costruzione degli as
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— 401 — La prima proposizione s
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— 403 — gonali^ proponiamoci di
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— 409 — dovrà la (d) mancare d
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— 411 — II) Se nella (2) faccia
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— 413 — 244. Alcune formole rel
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— 415 — dove p è una costante
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— 419 — caso. Ma si può chiede
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— 421 — Un terzo invariante si
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— 439 — Ciò premesso, assumiam
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- e\c -j- Q cos f) = —
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I — 451 — dei segmenti cosi ott
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Page 553 and 554: — 535 — di geometria elementare
Page 555 and 556: — 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558: — 539 — Si osserverà che i nov
Page 559 and 560: — 541 — cartesiano^ le coordina
Page 561 and 562: ^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564: — 545 — togliere, introducendo
Page 565 and 566: — 547 — genee, giova tuttavia t
Page 567 and 568: — 549 — piani P; riguardata sot
Page 569 and 570: — 551 — Si ha qui una giustific
Page 571 and 572:
— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
Page 573 and 574:
— 555 — dove i k l m B una qual
Page 575 and 576:
— 557 — Per costruire un punto
Page 577 and 578:
— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
Page 589 and 590:
X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
Page 599 and 600:
— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
Page 603 and 604:
— 585 — una posizione assunta d
Page 605 and 606:
— 587 — uniti, ed i cui spigoli
Page 607 and 608:
— 589 — piani corrispondenti, s
Page 609 and 610:
— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
Page 617 and 618:
— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
Page 621 and 622:
— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
Page 625 and 626:
— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634:
— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
Page 645 and 646:
— 627 — zioni lineari fra i coe
Page 647 and 648:
— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
Page 651 and 652:
— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
Page 657 and 658:
— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
Page 661 and 662:
— 643 — autoconiugato rispetto
Page 663 and 664:
— 645 — lungo coniche, che hann
Page 665 and 666:
— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
Page 667 and 668:
— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
Page 675 and 676:
— 657 — triangolo, insieme al c
Page 677 and 678:
— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
Page 687 and 688:
— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
Page 699 and 700:
— 681 — mente che la quarta coo
Page 701 and 702:
questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
Page 707 and 708:
— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
Page 711 and 712:
Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
Page 725 and 726:
— 707 — centro dell'ellissoide.
Page 727 and 728:
— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
Page 731 and 732:
— 713 — cono dette direzioni as
Page 733 and 734:
— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
Page 741:
— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
Page 751 and 752:
INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
Page 753 and 754:
— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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