Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 110 — A, B, Ce A', B', C di punti corrispondenti, o fasci di rette U, TI' colle terne a, 6, ce a\ 6', e' di rette corrispondenti; i due casi si corrispondono per dualità piana. Ogni altro caso si riduce a questi, sostituendo ad una, o ad ambedue le forme date, una nuova forma proiezione o sezione di quella. a) Le due forme non siano sovrapposte. Se A coincide con J.', le due punteggiate risultano pro- spettive (n.° 67), e tutto si riduce a costruire il centro di prospettiva S z= BB' • ce, dal quale il punto arbitrario D àìu vien proiettato nel punto corrispondente richiesto D' di u' In caso opposto, si proiettino le punteggiate m, ti' da due punti ausiliari /S', 8 ' distinti, che non appartengano rispettivamente ad M, u' . Le due terne di punti ABC, A'B'C forniranno due terne di rette a oc, a'h'c' dei due fasci S, S'; e il problema sarà ridotto a costruire la proiettività I ^,.f, ] tra i due fasci. Ora questi risultano prospettivi se hanno una retta unita (n.*' 67), vale a dire se i centri 8, 8' sono scelti sopra una stessa delle tre rette A A', BB', CC. Posto, ad es., che appartengano alla prima retta (e con ciò si suppone che ne A, ne A' coincidano col punto uu'), si determinino i punti hh' = B", ce' = C". Sarà allora u" = B"C" Tasse di prospettiva dei due fasci 8, . Se a coincide con a', ì due fasci risultano prospettivi, (n.° 67), e tutto si riduce a costruire Tasse di prospettiva u ^bb' ' ce', sul quale si sega- no la retta arbitraria d di U e la retta corrispondente richiesta d' di V. In caso opposto, si seghino i fasci ZI, TI' con due rette ausiliari s, s' distinte, che non appartengano rispettivamente ad ZI, ZI'. Le due terne di rette ah e, a'b'e' forniranno due terne di punti ABC, A'B'C delle due punteggiate s, s', e il problema sarà ridotto a costruire la proiettività { a^t,,,,, ) due punteggiate. tra le Ora queste risultano pro- spettive se hanno un punto unito (n.° 67), vale a dire se le rette u, u' sono condotte per uno stesso dei tre punti aa', hb' , ce' . Posto, ad es., che siano condotte per il primo punto (e con ciò si suppone che né a, né a' coincidano colla retta ZI ZI'), si determinino le rette BB' ^ b", ce ^ e". Sarà allora U" = b"c" il centro di prò-
S'. Servendoci di questo, noi possiamo, data una retta d arbitraria nel primo fascio, costruire la corrispondente retta tjS d' nel secondo fascio, e quindi, dato un punto D ^: du della punteggiata u, costruire il corrispondente punto D' = d'u' della punteggiata u' . Ili spettiva delle due punteggiate 5, s'. Servendoci di questo, noi possiamo, dato un punto D arbitrario nella prima punteggiata, costruire il corrispondente punto D' nella seconda punteggiata, e quindi, data una retta d ^ DU del fascio U^ costruire la corrispondente retta d' = D'U' dei fascio U'. Nella costruzione si adoperano vari elementi arbitrari (ad es., a sinistra, i punti S, S', costretti solo a stare sopra una delle tre rette A A', BB', CC); ma comunque si disponga di questi, partendo da un elemento dato della prima forma, si giun- gerà sempre allo stesso elemento della seconda forma, b) Le due forme siano sovrapposte. Scelti ad arbitrio due punti distinti 8, S'j fuori del soste- gno comune alle punteggiate date M, m', si proiettino da -S^ i tre punti A, B, C di u e da S' ì tre punti A',B',C' dì u', ottenendo rispettivamente le terne di rette ab e e a'h'c'. Determi- Scelte ad arbitrio due rette distinte .s-, s' , non passanti pel centro comune ai due fasci dati Z7, Z7', si seghino con s le tre rette a, b, e di ?7, e con s' le tre rette a',b',c' di U', ottenendo rispettivamente le terne di punti ABC ed A'B'C Determinata
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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— 161 — Proiettiamo i punti Pi,
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— 163 — la quale esprime che i
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— 165 — ad es. sotto la forma (
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— 167 — e la medesima relazione
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— 171 - gnano polinomi contenenti
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— 175 — si può costruire una s
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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— 185 — questa convenzione cost
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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— 199 — Ma per le (1) X = x' -^
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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% — 245 — continuità, si consi
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e fatto z - 263 —
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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i — 275 — 6) Un' altra generazi
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I — 287 — (dove Aik ^ il comple
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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l — 313 — 17) Due piani simili
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 319 — nate della retta p', ch
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 323 — dremo nella teoria dell
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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— 327 — 7) Sopra ogni retta di
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— 329 — 3) Introdotta sul princ
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— 333 — La prima definisce il p
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 339 — 1) Si formino le deriva
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— 341 — l'equazione della tange
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— 345 — 304. Metodo delle polar
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— 349 b) Le intersezioni di una c
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— 351 — e sega pure il secondo
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— 353 — dai quali si conducano
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— 355 — e si noti che, quando M
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I — 357 — zioni della retta VP
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— 359 — a primo grado, si ricon
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— 361 — in punti coincidenti da
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— 363 — gli ortocentri dei quat
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i — 367 — a, 6' le tangenti in
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— 369 — Queste proposizioni, di
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— 371 — Segando il primo fascio
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 379 — una conica è iscritta
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— 395 — dove À, fi. V sono par
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— 397 — Partendo dall' equazion
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— 399 — La costruzione degli as
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— 409 — dovrà la (d) mancare d
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— 411 — II) Se nella (2) faccia
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— 415 — dove p è una costante
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— 417 — nelle (a), basterà far
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— 421 — Un terzo invariante si
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— 431 — 17) Dati sulla conica A
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— 433 — diagonale PQ; queste pe
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— 435 — Capitolo V. Proprietà
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— 437 — la involuzione dunque
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— 439 — Ciò premesso, assumiam
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— 441 — Per enunciare il risult
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— 443 — è indipendente dalla c
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 449 — rette formanti fascio c
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I — 451 — dei segmenti cosi ott
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— 494 — 21) Condizioni perchè
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 499 — e la terza coordinata {
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(!') — 507 — 289. Equazioni di
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
Page 543 and 544:
— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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