Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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2) che ogni elemento della prima classe preceda un elemento
della seconda classe. Si domanda se rimanga con ciò comple-
tamente individuato un elemento (di separazione) X dotato
della proprietà che ogni elemento precedente X appartenga alla
prima classe, ed ogni elemento seguente X appartenga alla
seconda classe. La questione non può venir risolta mediante
una deduzione logica dai postulati già ammessi, perchè qui si
tratta di un concetto essenzialmente distinto da quelli a cui i
detti postulati si riferiscono; non può nemmeno venir risolta
sperimentalmente, giacché è chiaro che una esperienza in pro-
posito non potrebbe dare nessuna risposta precisa. Tuttavia il
concetto che generalmente ci formiamo di tratto continuo di
retta (o curva, o forma di prima specie), ci induce a rispon-
dere affermativamente alla domanda ora enunciata; tanto più
che una risposta negativa porterebbe complicazioni, almeno di
linguaggio, nello sviluppo della Geometria.
Siamo dunque portati ad ammettere il seguente:
Postulato della coutiuuità (^). Fissato un ordine sopra una
forma di prima specie e distribuiti gli elementi della forma in
due classi, in guisa che ogni elemento appartenga alla prima o
alla seconda classe, ed ogni elemento della prima classe preceda
ogni elemento della seconda, rimane individuato sulla forma un
elemento X, dotato della proprietà che ogni elemento precedente
X appartiene alla prima classe, ed ogni elemento seguente X appartiene
alla seconda classe. L'elemento X stesso appartiene alla
prima o alla seconda classe, secondo la legge con cui le due
classi sono definite.
Il postulato si può anche presentare premettendo la defi-
nizione di insieme continuo. Si dice che un insieme ordinato
e denso (di numeri, punti, ecc.) è continuo, quando ogni divi-
sione dell'insieme in due classi soddisfacenti alle proprietà 1)
e 2) sopra riferite individua un elemento x {ài separazione)
appartenente all'insieme, e tale che ogni elemento precedente x
appartenga alla prima classe ed ogni elemento seguente x ap-
partenga alla seconda classe. Cosi ad es. è chiaro che l'insieme
(1) Enunciato in termini precisi da Dedekind (1872), ma del resto am-
messo come evidente anche prima.