Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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(2) — 198 — Le due forinole ora scritte, o le due rispetto ad X, X y = X X ^^^^y \ sen xy Y sen Xx + Y sen yx sen Yy sen xy sen Yx sen yx esprimono le antiche coordinate mediante le nuove. Volendo ricavar queste mediante quelle, basterebbe risolvere le (2) r, o, più rapidamente, ripetere il ragionamento ora fatto, considerando però a:, y come nuovi assi, ed X, Y come antichi, il che porta a scam- biare nelle (2) le lettere maiu- scole colle minuscole. E utile ricordare la ipotesi particolare che entrambi i sistemi siano ortogonali (trasformazione ortogonale)^ e precisamente si abbia xy = XY =z -j- IL. Posto allora a;X = a, le formolo di trasformazione (2) assumono la forma più semplice: Xcosa — YzQiia, \ y =. X sen a -\- Fcosa. 111° Caso — Affinchè i nuovi assi X, Y siano fissati di /pr\ ^ a; = posizione rispetto agli antichi, bisognerà dare questa volta le coordinate a, 6 di 0' rispetto ad x, 7/, e gli angoli xX, xY. Costruiamoci un sistema di coordinate ausiliari, conducendo per 0' gli assi x\ y' paralleli ad x, ?/, ed indichiamo con x\ y' le coordinate di P rispetto a questi nuovi assi (essendo al solito :«, 7/ e X, y le antiche e le nuove coordinate di P), Per le formolo (2), corrispondenti al secondo caso, si avrà intanto — X ^^^ ^y _L ^^^ X Y ^y sen xy sen y' = X Xx sen yx + sen xy sen Yx Y sen yx
— 199 — Ma per le (1) X = x' -^ a, y = y' -\- h -^ quindi in fine /gx ) sen xy sen xy ' ) ,, TT senXa:; sen Fa? , , \ y — A. -4- 1 — -U 6, ' sen yx sen yx Se i due sistemi sono ortogonali, ed il nuovo sistema è ottenuto dall'antico mediante una rotazione di un angolo a intorno ad 0, seguita da una traslazione, le formule (3) divengono /n,\ ^ X = Xcosa — Fsena -j- a, ì y = Xsen« 4- Fcosa -j" *• Osservazione. — In molte questioni non occorre toner conto dei valori dei coefficienti che entrano nelle formolo trovate, basta ricordare l'aspetto di queste, e scriverle cosi: /^x { x = a -^ a'X -\- a"Y, ^ ^ \ y = h -{- h'X -^ h"Y, dove a, a' , . . . h" sono sei costanti, che non dipendono dalla posizione del punto considerato. In parole: le coordinate delVun sistema si esprimono mediante funzioni lineari delle coordinate del- l'altro sistema] funzioni che inoltre sono omogenee (a = 6 = 0), quando le origini coincidono. 123. Coordinate polari. — Il problema della trasformazione delle coordinate comprende, in generale, quei procedimenti mediante i quali, date le coordinate di un punto in un sistema qualsiasi di coordinate (sia pure non cartesiano), si possono calcolare le coordinate del punto stesso in un altro sistema di coordinate. Sarebbe dunque qui il caso di parlare di sistemi di coordinate diversi dal cartesiano. Basterà definire, tra questi, un sistema, detto sistema polare, che viene talvolta adope- rato, specialmente nelle matematiche applicate. Nel piano si fissi un punto proprio 0, polo^ ed una retta orientata, o semiretta, x passante per 0, detta asse polare. Al- lora, dato un punto P, rimane determinata la distanza OF = q, raggio vettore del punto, e (a meno di multipli di 2?^) l'angolo xp = 95, anomalia od ascissa angolare^ che la semiretta positiva X forma colla semiretta p uscente da e '
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— espili ampia che chiameremo A^]
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dove si è posto per brevità — 7
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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e fatto z - 263 —
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 351 — e sega pure il secondo
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— 355 — e si noti che, quando M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 449 — rette formanti fascio c
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I — 451 — dei segmenti cosi ott
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— 453 — 38) Da questo teorema e
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— 457 — il piano di K' intorno
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— 461 — sono paralleli agli asi
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— 463 — 12) n prodotto di due a
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- 470 — dove si suppone precisame
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— 472 — sistema di coordinate p
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— 482 — II. Sia data una riga a
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 499 — e la terza coordinata {
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— 509 — se invece sta sopra xy^
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558:
— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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