Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 498 — A, B, C, sicché rimarranno individuati, in valore e segno, tre numeri a = A, h = OB, e = OC. Viceversa, dati i tre numeri a, è, e, restano individuati i punti A, -B, C, e quindi il punto P, come intersezione di tre piani paralleli ai piani coordinati. I tre numeri a, 6, e si chiamano coordinate cartesiaìie del punto P (rispettivamente prima coordinata od a;, seconda coordinata od y, terza coordinata o 2^ di P); e si scrive: P(a, ò, e). I tre piani passanti per P, e paralleli ai piani coordinati, racchiudono con questi un parallelepipedo, di cui e P sono due vertici opposti; OA, OB, OC sono i lati uscenti da 0, e PQ, PB, PS, rispettivamente ad essi uguali e paralleli, sono i lati uscenti da P. Ne viene che, volendo costruire il punto P di coordinate a, 6, e, si può determinare su X il punto A tale che OA =: a, condurre per A la parallela ad y, e prendere su questa il segmento A8=b (diretto come il semiasse positivo o negativo y, secondo che 6 è positivo o negativo ), e finalmente condurre per 8 la parallela a z, sulla quale si prenderà SP = e (diretto come il semiasse positivo 0, se e >» 0, ecc.). Cosi si viene a costruire una spezzata, che comincia nell'origine e termina in P, ed i cui lati successivi (tenuto conto delle loro direzioni) hanno per misura le coordinate di P Altre spezzate della stessa natura si trovano, considerando i tre assi in ordine diverso. Crii otto vertici del parallelepipedo prima nominato hanno evidentemente le coordinate P(a, h, e), Q(0, 6, e), R(a, 0, e), 8 (a, b, 0), A{a, 0, 0), P(0, è, 0), C(0, 0, e), 0(0, 0, 0). In generale, ogni punto del piano yz ha, la x nulla, ogni punto del piano zx ha la y nulla, ed ogni punto del piano xy ha la z nulla. Per un punto dell' asse x sono nulle la seconda
— 499 — e la terza coordinata {ij :=: z ^^ 0), ecc.; l'origine ha nulle le tre coordinate. I tre piani, coordinati dividono lo spazio in otto regioni (triedri) ; a ciascuna regione corrispondono particolari segni per le coordinate. Così un punto, che si trovi nel triedro formato dalle semirette positive x, y, 0, ha le tre coordinate positive, mentre un punto del triedro formato dalla semiretta negativa x e dalle semirette positive y, z ha la prima coordinata negativa e le altre due positive, ecc. Gli otto punti (a, 6, e), (— a, ò, e), {a — ò, e), (a, h, — e), (a, — 6, — e), (— a, ò, — e), (— a, — 6, e), (— a, — ò, — e), le cui coordinate differiscono solo per i segni, sono vertici di un parallelepipedo, che ha le facce parallele ai piani coordinati e le diagonali passanti per 1" origine. Se le coordinate di un punto sono uguali e di segno op- posto alle coordinate di un secondo punto, i due punti sono simmetrici rispetto all'origine. 280. — Nel sistema cartesiano i punti dello spazio risul- tano determinati come intersezioni di terne di piani, i quali de- scrivono rispettivamente tre fasci impropri, aventi per assi le rette alF infinito dei piani coordinati. Ad un punto proprio corrispondono valori finiti e determinati per le tre coordinate carte- siane, e viceversa. Per un punto improprio, in generale, le tre coordinate sono infinite ; ed alla terna x=oo,y==oo,0=:Go corrispondono tutti i punti impropri dello spazio. Da questo difetto della corrispondenza tra punto e terna di numeri provengono alcuni inconvenienti del sistema di coordinate carte- siane, inconvenienti che, come si vedrà in seguito, possono togliersi colla introduzione di una ulteriore coordinata (cfr., nella geometria piana, il n.° 124). 281. Punto che divide un segmento in un dato rapporto. — Proponiamoci il problema: Dati due punti I\{xij yi, ^i), P^ipc^^ ^2, z^^, determinare le coordinate di quel punto P della retta Pi Po, che forma con P P essi un dato rapporto semplice p-^p = r. Proiettiamo i tre punti Pj, P2, P sopra uno degli assi coordinati (ad es. x), mediante piani paralleli al piano coordi-
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 25 — nel piano PSA, devono se
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— 35 — Noi possiamo far ciò se
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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dove si è posto per brevità — 7
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 115 — u'. 1 punti M, 0, N si
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— 125 — Se nella proiettività
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— 135 — il teorema duale) la in
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— 137 — la involuzione appartie
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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e fatto z - 263 —
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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I — 287 — (dove Aik ^ il comple
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l — 313 — 17) Due piani simili
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 319 — nate della retta p', ch
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 323 — dremo nella teoria dell
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 355 — e si noti che, quando M
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i — 367 — a, 6' le tangenti in
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Le infinite coniche circo- scritte
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- e\c -j- Q cos f) = —
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Page 535 and 536: — 517 — spezzate aventi gli ste
Page 537 and 538: — 519 — 297. Distanza dì due p
Page 539 and 540: e quindi , 'cosxr = — , — 521
Page 541 and 542: — 523 — Per calcolare il seno d
Page 543 and 544: — 525 — Ora questi risultati, e
Page 545 and 546: — 527 — Similmente si vede che
Page 547 and 548: — 629 — quarto vertice dalla fa
Page 549 and 550: — 531 — ordine uguagliato a zer
Page 551 and 552: — 533 — perpendicolare. (Es. nu
Page 553 and 554: — 535 — di geometria elementare
Page 555 and 556: — 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558: — 539 — Si osserverà che i nov
Page 559 and 560: — 541 — cartesiano^ le coordina
Page 561 and 562: ^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564: — 545 — togliere, introducendo
Page 565 and 566: — 547 — genee, giova tuttavia t
Page 567 and 568:
— 549 — piani P; riguardata sot
Page 569 and 570:
— 551 — Si ha qui una giustific
Page 571 and 572:
— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
Page 573 and 574:
— 555 — dove i k l m B una qual
Page 575 and 576:
— 557 — Per costruire un punto
Page 577 and 578:
— 559 — che si possa dedurre co
Page 579 and 580:
— 561 — Il teorema si dimostra
Page 581 and 582:
— 563 — come piano XY di un nuo
Page 583 and 584:
— 565 — II. — 10) Trovare 1'
Page 585 and 586:
— 667 — essere tutte nulle). Al
Page 587 and 588:
— 569 — D' altra parte è spess
Page 589 and 590:
X — a
Page 591 and 592:
— 573 — Se il vertice coincide
Page 593 and 594:
— ; 576 — equidistanti dal punt
Page 595 and 596:
— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
Page 597 and 598:
— 579 — dello spazio mediante u
Page 599 and 600:
— 581 — quel modo, pur di scegl
Page 601 and 602:
-^ 583 — glianze (1). Si conclude
Page 603 and 604:
— 585 — una posizione assunta d
Page 605 and 606:
— 587 — uniti, ed i cui spigoli
Page 607 and 608:
— 589 — piani corrispondenti, s
Page 609 and 610:
— 591 — Finalmente se, dato un
Page 611 and 612:
ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
Page 613 and 614:
— 595 — 839. Polarità nello sp
Page 615 and 616:
— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
Page 617 and 618:
— 599 — si osservi che le condi
Page 619 and 620:
— 601 — 18) Assunto r asse di u
Page 621 and 622:
— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
Page 623 and 624:
— 605 — La curva intersezione d
Page 625 and 626:
— 607 — punto comune alle due r
Page 627 and 628:
— 609 — 345. Per costruire il p
Page 629 and 630:
— 611 — P', mentre il coefficie
Page 631 and 632:
— 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634:
— 615 — questa ipotesi sarà so
Page 635 and 636:
— 617 — Due rette siffatte, in
Page 637 and 638:
— 619 — quadrica in un punto R
Page 639 and 640:
— 621 — una quadrica : due pian
Page 641 and 642:
— 623 — esso pure alla quadrica
Page 643 and 644:
— 625 — p' ed ì piani n' della
Page 645 and 646:
— 627 — zioni lineari fra i coe
Page 647 and 648:
— 629 — goli collo stesso verti
Page 649 and 650:
— 631 — cano in P la quadrica,
Page 651 and 652:
— 633 — Cosi continuando, vedia
Page 653 and 654:
— 635 — Segue inoltre che il pr
Page 655 and 656:
— 637 — Dualmente, se i sostegn
Page 657 and 658:
— 639 — Esse passano tutte per
Page 659 and 660:
— 641 — g) / vertici dei quattr
Page 661 and 662:
— 643 — autoconiugato rispetto
Page 663 and 664:
— 645 — lungo coniche, che hann
Page 665 and 666:
— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
Page 667 and 668:
— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
Page 673 and 674:
— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
Page 675 and 676:
— 657 — triangolo, insieme al c
Page 677 and 678:
— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
Page 681 and 682:
k — 663 — Ritornando al problem
Page 683 and 684:
— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
Page 687 and 688:
— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
Page 691 and 692:
— 673 — mentre k cresce in valo
Page 693 and 694:
— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
Page 697 and 698:
— 679 — il piano polare di ques
Page 699 and 700:
— 681 — mente che la quarta coo
Page 701 and 702:
questa, colla traslazione di assi a
Page 703 and 704:
— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
Page 707 and 708:
— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
Page 711 and 712:
Le ultime due ci danno — 693 —
Page 713 and 714:
— 695 — sicché il paraboloide
Page 715 and 716:
— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
Page 721 and 722:
— 703 — perfide. Ora, se -ST è
Page 723 and 724:
— 705 — quattro fasci impropri
Page 725 and 726:
— 707 — centro dell'ellissoide.
Page 727 and 728:
— 709 — come risulta dall' Oss.
Page 729 and 730:
— 711 — sopra una stessa retta,
Page 731 and 732:
— 713 — cono dette direzioni as
Page 733 and 734:
— 715 — Ora sappiamo che un con
Page 735 and 736:
— 717 — una quadrica inviluppo
Page 737 and 738:
— 719 — si trovano distribuiti
Page 739 and 740:
— 721 — per la direttrice /'. l
Page 741:
— 723 — due punti fissi della i
Page 744 and 745:
— 726 — 6) Condizione, perchè
Page 746 and 747:
(22) A (23) — 728 — 22) Area de
Page 748 and 749:
— 730 — 35) Condizioni, perchè
Page 751 and 752:
INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
Page 753 and 754:
— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
show all

Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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