Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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Supponiamo, al contrario, che A!' coincida con J., e che lo
stesso fatto si presenti comunque si scelga l' elemento A sulla
forma. Dovremo concludere allora che la nostra proiettività J*
coincide colla propria inversa JP ~
, cioè J* = _P ~ ^ (o, ciò
che fa lo stesso, dovremo concludere che la proiettività
P^ = P •
P, la quale muta A in A!' = A, è la identità,
P2 = 1).
A dimostrar l'esistenza di proiettività P coincidenti colle
proprie inverse P ~
,
valga l'esempio seguente. Sopra una retta
propria si fissi un punto proprio 0, e come operazione P si
assuma la simmetria rispetto ad 0, la quale muta i punti
A, B^. . . della retta nei propri
simmetrici A\ B',... rispetto fi a o a' tì'
ad ;
qui si tratta di una vera
proiettività, anzi di una ugua-
glianza inversa, giacché si \\^ AB = — A'B\ ecc. Ora ai
punti A* ^ B' , . . . si applichi di nuovo la simmetria P rispetto
ad 0. Detti A!\ B" , . . . i punti a cui si giunge, sarà eviden-
temente A!' = J-, B" ^ j5. . . ; si conchiude che P = P ~ \
ossia che la proiettività P " è l' identità.
zione :
L'esempio addotto ci autorizza a dare la seguente defini-
Si chiama proiettività involutoria, o brevemente involuzione,
una proiettività, non identica, tra due forme di prima specie so-
vrapposte, la quale coincida colla propria inversa; ossia una
proiettività tale, che ogni elemento abbia, come corrispondente,
uno stesso elemento, sia che quell' elemento venga considerato
nell' una forma, sia nell' altra. Di due elementi A, A' corrispon-
dentisi in una involuzione, è inutile dire se A od A' si ri-
guarda come appartenente alla prima o alla seconda forma; i
due elementi si corrispondono in doppio modo, sono coniugati
nella involuzione. Ed è pure inutile nominare le due forme
sovrapposte, quando si tratta di una involuzione ; si parlerà
di involuzione sopra una punteggiata, in un fascio di rette o
di piani. La involuzione determina una distribuzione degli ele-
menti della forma in coppie (di elementi coniugati), di guisa
che ogni elemento della forma appartiene ad una e ad una
sola coppia, e i due elementi di una coppia si comportano