Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 244 — definire un inviluppo di rette come V insieme di tutte le rette di un piano soddisfacenti ad una data condizione] in tal guisa l'inviluppo di rette si presenta come l'ente duale (nel piano) del luogo di punti (o curva). La dualità si riscontra anche nella rappresentazione analitica. Data una equazione (1) _ f{u, v) = 0, le cui variabili m, v vengano riguardate come coordinate plii- ckeriane (o proiettive non omogenee) di una retta, rimane de- finito un'inviluppo costituito da tutte levette che colle loro coordinate soddisfano all'equazione (1); la quale vien detta equazione del- l'inviluppo. Gli inviluppi possono classificarsi secondo la na- tura delle loro equazioni in coordinate plùckeriane (o proiettive). Diremo dunque algebrico, o trascendente^ un inviluppo, secondo che algebrica, o trascendente, è la equazione rappresenta- tiva; e, nel primo caso, chiameremo classe dell'inviluppo il grado della equazione algebrica (razionale, intera) di esso. Oli inviluppi di prima classe sono i fasci di rette, o, come si suol dire, i punti riguardati come centri di fasci (n.° 128). Fra gli inviluppi di seconda classe si trova il sistema delle tangenti a un cerchio, di cui il lettore potrà subito scrivere la equazione, noto il centro ed il raggio del cerchio ; ed in generale, vedremo che le tangenti ad una curva del secondo ordine costituiscono uno inviluppo di seconda classe. La nozione di classe di un inviluppo algebrico corrisponde per dualità piana alla nozione di ordine di una curva algebrica; le curve piane d'ordine n hanno come enti duali gli inviluppi di rette di classe n. Lo stesso procedimento algebrico che ci ha condotto a scoprire il significato geometrico dell'ordine di una curva (n." 142), ci fornisce (interpretato nel modo duale) il significato della classe di un inviluppo: la classe di un inviluppo algebrico è il numero delle rette delV inviluppo che passano per un punto generico del piano, purché si contino con- venientemente le soluzioni coincidenti, immaginarie . . . 151. Punti di contatto in un inviluppo. — Il concetto di tangente ad una curva, trasformato per dualità, conduce al concetto di punto di contatto di un inviluppo. Supposto che un inviluppo venga descritto da una retta muoventesi con
% — 245 — continuità, si consideri una posizione p della retta, e sia j9i, una nuova posizione della retta stessa. Mentre la retta jn, descrivendo l' inviluppo, va avvicinandosi indefinitamente alla j9, il punto pp\ va scor- rendo lungo la /) ; se esso tende ad una posizione limite T, si dirà che T è il punto di contatto della retta p appartenente all' inviluppo. E r equazione del punto T in coordinate di rette si potrebbe ritrovare, partendo dall' equazione dell' inviluppo, collo stesso procedimento analitico che dà, in coordinate di punti, l'equazione della tangente ad una curva. I punti di contatto delle infinite rette di un inviluppo costituiscono generalmente una curva. Ora l'intuizione sugge- risce, ed il calcolo infinitesimale dimostra, che (sotto certe re- strizioni verificate nei casi più comuni) la curva dei punti di contatto ha precisamente come tangenti le rette dell' inviluppo (ciascuna retta toccando la curva nel proprio punto di contatto). Riunendo questa osservazione con quella fatta al prin- cipio del n.*' precedente, possiamo dire: Le tangenti ad una curva I punti di contatto di un piana costituiscono generalmente un inviluppo di rette^ i cui punti di contatto sono i punti della curva primitiva. inviluppo di rette costituiscono generalmente una curva piana^ le cui tangenti sono le rette delV inviluppo primitivo. Segue di qua che ad una curva è associato un determinato inviluppo, e viceversa ; ma non sarebbe esatto dire, in generale, che quella curva e quell' inviluppo si corrispondono per dua- lità. Ad es., si dimostra che le tangenti ad una curva generale d'ordine n formano un inviluppo di classe w(n — 1), mentre la curva primitiva ha come ente duale un inviluppo di classe n. Segue ancora che la nozione di inviluppo acquistata dal considerare l'insieme delle tangenti ad una curva piana, può riguardarsi come sufficientemente generale, escludendo essa solo alcuni inviluppi eccezionali (oltre al fascio di rette).
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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dove si è posto per brevità — 7
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 127 — è omologico al triango
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— 129 — Supponiamo, al contrari
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— 133 — cìenti delle (4). Con
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— 151 — distanza. Qua!' è il m
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— 153 — ed è iperbolica, parab
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 355 — e si noti che, quando M
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i — 367 — a, 6' le tangenti in
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— 369 — Queste proposizioni, di
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— 371 — Segando il primo fascio
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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- e\c -j- Q cos f) = —
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I — 451 — dei segmenti cosi ott
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— 457 — il piano di K' intorno
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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— 492 — 6) Retta generica del f
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 499 — e la terza coordinata {
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
Page 543 and 544:
— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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