Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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Ora questi risultati, ed anche le stesse relazioni (2), valgono,
qualunque sia la posizione del piano n rispetto agli assi. In-
fatti, se, ad es., 71 è parallelo all'asse x^ nella prima delle (2)
si ha a = 0, cos a =: 0, mentre le altre rimangono inalterate ;
se -ji passa per 0, nell' ultima delle (2) si porrà ^ = 0, ]9 =0,
mentre le rimanenti sussistono, come si verificherebbe sosti-
tuendo per un momento al piano n un piano parallelo. Con-
cludiamo che :
La equazione di ogni piano può scriversi, assumendo come
coefficienti delle variabili x, y, z i coseni di direzione di una
normale al jìiano^ e come termine noto la distanza^ cambiata di
segno, dell' origine dal piano. La equazione generale (1) di un
piano si traduce nella forma normale (6), dividendone il primo
membro per la radice quadrata della somma dei quadrati dei
coefficienti delle variabili.
Giova pure tener presente il risultato contenuto nelle
equazioni (4) :
I coseni di direzione della normale ad un piano sono pro-
porzionali ai coefficienti delle variabili nella equazione generale
del piano, e si ottengono dividendo i detti coefficienti per la ra-
dice quadrata della somma dei loro quadrati.
302. Distanza di un punto da un piano. — Sia P{x', y', z')
il punto, ed il piano n sia dato mediante la equazione normale
X cosa -]- y C0S|5 -\- z cos 7 — p z= 0.
Si conduca per P il piano parallelo a n, il quale seghi n in N',
e si ponga ON' = p' (v. fig. a pag. 523); l'equazione normale
di questo nuovo piano
X cosa -\- y cos/? -f- z cos/ — p' = 0,
dovrà esser soddisfatta dalle coordinate di P; segue
p' :=. x' cosa -|- y' cos/5 -j- z' cos/.
Ora la distanza ò == PQ = N'N dal piano ji è data da (cfr.
n.'' 116)
(^) ò =z p — i?' = — {x' cos a -\- y' cos j5 -\- z' cosy — p)\
dunque :
La distanza di un punto di date coordinate da un piano
di data equazione normale è il valore opposto a quello, che assume
U primo membro della equazione stessa, quando, al posto delle