Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 4:2 — spendenti; ed è denso (n.°19), giacché tra due punti razionali esistono infiniti altri punti razionali. Tuttavia il detto insieme non è continuo, e non esaurisce la retta; sopra u esistono infiniti punti che non appartengono all'insieme dei punti razionali. Uno di quelli si ottiene ad es. portando sopra u a partire da 0, in verso arbitrario, un segmento uguale alla diagonale del quadrato avente per lato il segmento unità. Noi cercheremo ora di associare i punti rimanenti di u ai numeri irrazionali, di cui non ci siamo ancora serviti. 3) Sia X un punto della retta u non appartenente all'insieme dei punti razionali. Il punto x determina una divisione m due classi A, B dei punti razionali, in virtù della quale entrano nella prima classe A quei punti razionali a che pre- cedono X (nel verso positivo), e nella seconda classe B i punti razionali ò rimanenti, i quali tutti seguono x. Se ora formiamo similmente due classi numeriche, l'una A colle ascisse a dei primi punti, l'altra B colle ascisse ò dei secondi punti, avremo diviso l'insieme dei numeri razionali in due classi A, B tali che ogni numero razionale appartiene alla prima classe o alla seconda, e che ogni numero della classe A precede ogni numero della classe B. Ma una siffatta spartizione aritmetica definisce un numero, nel nostro caso irrazionale, x = {A, B\ che si dice superiore ai numeri ài A q inferiore ai numeri di B. Noi assoderemo questo numero irrazionale x al punto x assegnato; diremo che quel numero è V ascÀssa del detto punto. Vediamo così che dato il punto x, è pienamente determinata la sua ascissa. Inversamente, sia dato un numero irrazionale x, definito mediante la spartizione in due classi A, B di tutti i numeri razionali. Sostituendo ad ogni numero razionale il punto corrispondente sulla retta, verremo a distribuire in due classi A g B i punti razionali della retta, per modo che ogni punto razionale appartiene alla classe A o alla classe B, ed ogni punto della classe A precede ogni punto della classe B. Le due classi non contengono però complessivamente ttitti i punti della retta m; ma è facile inserire in quelle i punti che vi mancano. Basta infatti aggregare alla classe A ogni altro punto che preceda un qualche punto della classe stessa, ottenendo cosi una classe
— espili ampia che chiameremo A^] poi aggregare alla classe B tutti i punti rimanenti della retta, vale a dire i punti che seguono tutti i punti di A, ottenendo cosi una nuova classe Bq contenente B. Ora è chiaro che ogni punto della retta entra nella classe Aq o nella classe Bq\ che inoltre ogni punto della classe .4(1 precede ogni punto della classe Bq. Ma due classi cosi fatte definiscono, per il postulato della continuità, un punto X della retta, tale che ogni punto precedente x appartiene ad Aq ed ogni punto seguente x appartiene a Bq. Diremo che quel punto x corrisponde al numero irrazionale x assegnato (ascissa del punto); il punto in questione ha la proprietà di seguire i punti di ascissa inferiore e precedere i punti di ascissa superiore. Con ciò è pienamente raggiunto lo scopo propostoci di stabilire una corrispondenza fra i punti della retta e i numeri reali. 22. Ascisse sulla punteggiata. (Viète, secolo XVI). — Riassumiamo in due parole il risultato della discussione precedente. « Data una retta propria, sopra cui siano fissati il verso « positivo ed un punto proprio 0, origine, dato inoltre un seg- « mento finito che si assume come unità lineare, ad ogni punto P « della retta viene associato un numero reale, ascissa del punto, il « quale misura la distanza OP, ed è preceduto dal segno -{- o — « secondo che per andare da in P lungo il segmento finito « si percorre la retta in verso positivo o negativo. Viceversa « ad ogni numero reale è associato un punto della retta avente « quel numero come ascissa ». La corrispondenza fra punti ed ascisse si suol dire perciò univoca in doppio senso o biunivoca. L' origine ha per ascissa zero] due punti simmetrici ri- ^ spetto ad hanno ascisse uguali o p ed opposte ; il punto all'infinito della retta non ha alcuna ascissa, o, se si vuole, ha per ascissa ± Gc, intendendo dire con ciò che se un punto si allontana al- l' infinito sulla retta, la sua ascissa va crescendo senza limite in valore assoluto, con segno dipendente dal verso in cui il punto si muove. ,
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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e fatto z - 263 —
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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