Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 182 — dove e' = CQ e una costante di cui vedremo subito il significato geometrico. Consideriamo a tal fine la intersezione della retta r con uno degli assi, a cui la retta non sia parallela; ad es, l'intersezione M coli' asse x. Sostituendo nell'ultima equazione, al posto di X, y, le coordinate (Oilf, 0) del punto If, abbiamo OM cosxn -\- e' = 0, ossia (visto il triangolo rettangolo OMN), e' = — OiV. In- dicando con ^ il valore del segmento ON preso col segno che gli spetta, potremo porre la equazione della retta r sotto la forma (6) a; cosxn -f- ycosyn — ^ = 0. Concludiamo che la equazione di una retta qualsiasi può scriversi assumendo come coefficienti delle variabili x, y i coseni di direzione della normale alla retta, e come termine noto la distanza, cambiata di segno, delV origine dalla retta. Questa particolare equazione, in cui le costanti hanno i significati geometrici ora esposti, fu detta (daHESSE) forma normale delVequazione di una retta, o, brevemente, equazione normale della retta. In assi ortogonali, posto xn = a, e quindi yn :=z a — -^ l'equazione normale assume la forma (6') a:; cos a -|- ysena — ^ = 0. Va notato che l'equazione normale di una retta rappresenta la retta orientata, cioè presa con un determinato verso; giacche ove si inverta sopra r, e quindi sopra n, il verso positivo, mu- tano segno nella (6), o (6'), i coefficienti delle variabili e il termine noto. D' ordinario una retta vien data analiticamente mediante una equazione generale, lineare, del tipo (1), i cui coefficienti non hanno, in generale, alcun significato geometrico ; (lo hanno bensì i loro mutui rapporti). Dalle cose dette risulta che la equazione normale della retta stessa, si ottiene moltiplicando i due membri della (1) per il fattore q; quindi, tenuto conto della (4), quella equazione normale può scriversi sotto la forma (7) (ax -^ by -\- c)senxy __ ^^ ± Y a^ -j- 6'^ — 2abcosxy s'intende dire che, se nella (7) si staccano i termini con x, y ,
— 183 — ed il termine noto, i relativi coefficienti hanno precisamente i significati geometrici messi in luce nella equazione normale (6). In assi ortogonali^ V equazione normale (T) ax -\- ly -\- Q, v ;2 -f 62 si ottiene dall'equazione generale della retta, dividendone il primo membro per la radice quadrata della somma dei quadrati dei coefficienti delle variabili. Quanto al segno del radicale, sussiste l'osservazione fatta sopra. 116. Distanza di un punto da una retta. — Il vantaggio di adoperare in talune questioni l'equazione normale di una retta risulta dal problema seguente. Sia data una retta r ed un punto P(x', y'), comunque si- tuato; si voglia calcolare la distanza ò = PQ del punto della retta. Supponiamo che su questa sia fissato il verso positivo; conduciamo da la normale n ad r, e su n e sulle parallele ad n, fissiamo il verso positivo secondo la convenzione fatta prima (nr = ~\- ^)- La distanza ó assumerà cosi un certo segno, dipendente dalla banda, rispetto ad r, in cui si trova il punto P; precisamente, date le nostre conven- zioni, avranno distanza positiva da r i punti giacenti a sinistra di un osservatore che percorra la retta nel senso positivo, e distanza negativa gli altri punti. Ciò premesso, si conduca per P la retta r' parallela ad r, e sia N' il punto in cui quella sega n. Si avrà allora, anche tenendo conto dei segni, QP = NN' = ON' — ON =: p' — p, dove si è posto ON = p, ON' = i>'. Ora se la retta r è data mediante la sua equazione normale (6) X cos xn -\- y cos yn — p = 0,
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— espili ampia che chiameremo A^]
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dove si è posto per brevità — 7
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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e fatto z - 263 —
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 341 — l'equazione della tange
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— 355 — e si noti che, quando M
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i — 367 — a, 6' le tangenti in
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— 371 — Segando il primo fascio
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 415 — dove p è una costante
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- e\c -j- Q cos f) = —
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I — 451 — dei segmenti cosi ott
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— 453 — 38) Da questo teorema e
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— 457 — il piano di K' intorno
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— 459 — quella affinità che tr
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— 461 — sono paralleli agli asi
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— 463 — 12) n prodotto di due a
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
Page 553 and 554:
— 535 — di geometria elementare
Page 555 and 556:
— 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558:
— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564:
— 545 — togliere, introducendo
Page 565 and 566:
— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
Page 575 and 576:
— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634:
— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
Page 647 and 648:
— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
Page 727 and 728:
— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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