Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 122 — di ascisse, mentre gli altri abbiano le ascisse a, b, e . . . , e data una parallela alla retta, è possibile costruire colla sola riga sulla retta primitiva ogni punto, la cui ascissa possa ottenersi mediante operazioni razionali eseguite sui numeri 1, a, b, e . . . Questo risultato, di natura metrica, può subito tradursi in forma j^roiettiva. Si consideri il piano Ji contenente .9, sopra il quale si eseguiscono le costruzioni nominate, e si proiettino n ed 6-, da un centro qualsiasi, sopra un piano n' ed una retta s' di questo. Le figure costruttive, composte di rette, esistenti in n, daranno come proiezioni, figure composte ancora di rette in tt'; ma i punti di s che hanno per ascisse 0, 1, ± oo, a, ò, e..., si muteranno in punti di s' aventi le coordinate proiettive 0, 1, li: co, a, b, e . . , (essendo fondamentali i primi tre punti; n." 42, Oss.). Ed il risultato precedente si tradurrà senz'altro in questo, di cui un caso particolare fu già considerato (n.° 52) : Dati sopra una retta tre o più punti, dei quali tre si assumano come punti fondamentali di un sistema di coordinate proiettive, e gli altri abbiano le coordinate a, b, e, . . . è possibile co- , struire colla sola riga su quella retta ogni altro punto, la cui coordinata possa ottenersi mediante operazioni razionali eseguite sui numeri 1, a, b, e, . . . La parallela alla retta che occorreva conoscere quando + go era la coordinata (ascissa) di un punto improprio, non inter- viene più ora che :L co è la coordinata proiettiva di un punto generalmente proprio. 76. Una proprietà del cerchio. — Ritorniamo al problema di costruire gli elementi uniti di una proiettività fra due forme sovrapposte. Lo risolveremo seguendo una via indicata da Stei- ner (1832), la quale si appoggia sopra una nota proprietà del cerchio. Se J- e jB sono due punti di una circonferenza, i quali vengano proiettati da due nuovi punti 8, 8' della circonferenza mediante le coppie di rette a, b ed a', b', rispettivamente, si ha ab = a'b' (mod. n). Applicando la stessa proprietà a quanti si vogliano punti
— 123 — A, B, C . . . della circonferenza, costituenti, come diremo, una punteggiata sopra questa, risulta che : / fasci proiettanti una punteggiata tracciata sopra una circonferenza da due punti di questa^ sono direttamente uguali, e quindi proiettivi. Va inteso che se un punto della punteggiata coincide col centro di proiezione, per retta proiettante si deve assumere la tangente alla circonferenza in quel. punto. In particolare, proiettando quattro punti A, £, C, D di una circonferenza da un punto S di questa, si ottengono quattro retto, il cui doppio rapporto non varia mentre *S' descrive la circonferenza; lo chiameremo doppio rapporto (AB CD) dei quattro punti nominati. Ed ora si può estendere la definizione di proiettività fra forme di prima specie, anche al caso che si metta in relazione una forma di prima specie con una punteggiata giacente sopra una circonferenza ; e si può parlare di proiettività tra due punteggiate tracciate sopra due circonferenze distinte o coincidenti ; derà sempre : una si inten- corrispondenza biunivoca che lascia invariato il valore del doppio rapporto. In particolare: una punteggiata sopra una circonferenza è proiettiva al fascio di rette che la j^foietta da un punto arbitrario della circonferenza ; e due punteggiate giacenti sopra due circonferenze (distinte o coincidenti) sono proiettive^ se i fasci di rette che proiettano quelle punteggiate da due punti arbi- trari delle rispettive circonferenze, sono proiettivi tra loro. 77. Costruzione degli elementi uniti di una proiettività tra forme sovrapposte. — Premesse queste nozioni, supponiamo date due forme di prima specie proiettive e sovrapposte. Possiamo sempre ritenere, senza introdurre restrizioni, chele due forme nominate siano fasci propri di rette, giacché se si trattasse ad es. di punteggiate, basterebbe proiettar queste da un unico centro di proiezione, e risolvere il problema che ci interessa per i fasci cosi ottenuti. Siano adunque (1) abc . . . TV a'b'c' . . .
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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e fatto z - 263 —
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 353 — dai quali si conducano
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— 355 — e si noti che, quando M
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I — 357 — zioni della retta VP
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— 363 — gli ortocentri dei quat
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— 371 — Segando il primo fascio
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 433 — diagonale PQ; queste pe
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- e\c -j- Q cos f) = —
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I — 451 — dei segmenti cosi ott
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— 453 — 38) Da questo teorema e
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— 457 — il piano di K' intorno
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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— 492 — 6) Retta generica del f
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 499 — e la terza coordinata {
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— 511 — Questa rappresenta un p
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— 513 — allora, od esiste un si
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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