Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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rappresenta quei punti, che sono comuni alle tre superficie
/^O, q) z=z 0, t/; = 0; punti^ che possono anche riguardarsi
come intersezioni della superficie t/; = 0, colla linea /" = 0,
g) = Oj ecc. In generale, si tratterà di un gruppo di punti, in
numero finito o infinito ; ma, in casi particolari, quei punti po-
trebbero succedersi con continuità^ e costituire una linea o su-
perficie comune alle tre superficie (1).
321. Superficie algebriche ; ordine della superficie. — Ri-
prendiamo una sola equazione, in coordinate cartesiane, rappre-
sentante una superficie. Questa dicesi algebrica, d''ordine w, se
la equazione è algebrica, e (ridotta alla forma razionale intera)
ha il grado n. In caso contrario, la superficie è trascendente.
Le superficie algebriche di primo ordine sono i piani. Le
superficie di secondo ordine verranno studiate in seguito ; fra
di esse vedremo subito esservi la sfera.
Che r ordine di una superficie algebrica sia un carattere
della superficie, indipendente dal particolare sistema di assi
cartesiani, a cui la superficie vien riferita, si dimostra collo stesso
ragionamento tenuto in geometria piana (n.° 141), il quale fa
vedere che il grado dell'equazione della superficie non si altera,
quando si eseguisca una trasformazione di coordinate carte-
siane (n.° 308).
Osservazione. — In coordinate cartesiane omogenee {x,
y, z, t), una superfìcie algebrica d'ordine n è rappresentata da
una equazione algebrica, razionale, intera ed omogenea, di grado
n, tale cioè, che la somma degli esponenti di x, y, z, t in ciascun
termine sia n. Il passaggio dall' equazione non omogenea, al-
l'omogenea, o viceversa, si fa tenendo presenti le (1) del n^. 310.
Anche in coordinate proiettive, una superfìcie d'ordine n è
rappresentata da un' equazione di grado n ; ciò per il fatto che
le formole di trasformazione da coordinate cartesiane omogenee
a coordinate proiettive omogenee sono lineari (n.'' 315).
322. Significato geometrico dell' ordine di una superficie-
— Che 1' ordine -di una superficie algebrica sia un carattere
geometrico di questa, risulta dal seguente teorema :
Una superficie algebrica d''ordine n è segata da ogni retta,
che non vi appartenga, in n punti, e da ogni piano, che non vi
appartenga, in una curva d^ ordine n.