Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 566 — 21) I piani tangenti a due sfere, in ciascun punto comune ad esse, formano un diedro costante, che dicesi angolo delle due sfere. Determinare r angolo delle due sfere 8 = 0, S' = 0, e la condizione perchè queste si tocchino, o si seghino ortogonalmente l' ultima ; condizione è aa' -f /?/?' + yy' ^^ Y ~^ ^'^ — ^• III. — 22) Se le equazioni 8i = 0, S2 = rappresentano due sfere, anche l'equazione îS-^ -\- ^2'^2 ^= (con À^, À^ costanti arbitrarie, non entrambe nulle) rappresenta una sfera, la quale, al variare del rapporto ^.^, descrive un fascio di sfere. Le sfere del fascio passano tutte per uno stesso cerchio, base del fascio, il cui piano Sj — 82^= (piano radicale del fascio) è il luogo dei punti aventi uguale potenza rispetto alle sfere Sj = 0, ^'2 =: 0, e ad ogni sfera del fascio. Per ogai punto dello spazio, che non appartenga al cerchio base, passa una sfera del fascio. Il luogo dei centri delle sfere del fascio è una retta {asse centrale) perpendicolare al piauo radicale nel centro del cerchio base. Il piano radicale è invece il luogo dei centri delle sfere ortogonali alle sfere del fascio (cfr. n.' 158, 159). Queste ultime sfere passano tutte per due punti dell' asse centrale, che sono centri delle due sfere di raggio nullo appartenenti al fascio. Come si modificano questi risultati, se le sfere Si = 0, S'2 = 23) Se -Sî sono concentriche? ==: 0, ^2 = 0, 5^3 = sono le equazioni di tre sfere, non appartenenti ad un fascio, l'equazione îSi -{- >Ì2'S'2 ~\~ ^3^3 ^^^ (corri- spondente a valori non tutti nulli, ne infiniti, dei parametri À-^, À2, ^3) rappresenta una sfera, che passa per i due punti comuni alle sfere date (punti base). L'insieme di quelle 00^ sfere costituisce un sistema (rete di sfere) tale, che ad esso appartiene ogni fascio determinato da due sfere della rete, mentre per due punti generici dello spazio passa una sola sfera della rete. La retta, che congiunge i due punti base, dicesi asse radicale della rete; per essa passano i piani radicali di tutti i fasci appartenenti alla rete, ed un suo punto generico ha la stessa potenza rispetto a tutte le sfere del sistema. Il luogo dei centri delle sfere della rete è, in generale, il piano ( piano centrale) perpendicolai-e all' asse radicale nel punto medio tra i due punti base. L' asse radicale è invece il luogo dei centri delle sfere, che sono ortogonali a tutte le sfere della rete ; esse costituiscono un fascio, il cui cerchio base sta nel piano centrale, e sega ortogonalmente le sfere della rete (,') ; esso è il luogo dei centri delle sfere di raggio nullo appartenenti alla rete. Come si modificano i risultati, se i centri delle tre sfere Si =0, /S2 = 0, Ss = sono allineati ? 24) Quattro sfere il 1 = 0, S2 = 0, 83 = 0, ^'4 = 0, non appartenenti ad una stessa rete, determinano un sistema lineare co ^ di sfere, la cui sfera generica ha l'equazione ''-l'S'i -f- ^-282 -\- ^38-^ -j- ^4S^ = (ove Ài, À^, À^, À^ sono costanti arbitrarie finite, soggette solo alla condizione di non (1) S' intende 4ire con ciò, che, nei punti d' intersezione del cercliio con una sfera, la tangente al cerchio e il piano tangente alla sfera sono ortogonali.
— 667 — essere tutte nulle). Al sistema appartiene ogni rete ed ogni fascio deter- minati da tre o due sfere generiche del sistema stesso. Esiste in generale una sola sfera del sistema, che passi per tre punti dati, o che abbia il centro in un punto dato. I piani radicali e gli assi radicali dei fasci e delle reti contenute nel sistema passano per uno stesso punto, che dicesi centro radicale del sistema. Esso è centro di una sfera ortogonale a tutte le sfere del sistema, la quale è il luogo dei centri delle sfere di raggio nullo del sistema. Se ne scriva l'equazione, partendo dall' una o dall'altra di queste sue propiùetà. Come si modificano i risultati, se le quattro sfere date hanno i centri in un piano, oppure passano per un punto ? 25) Un piano passante per i centri (7, 6" di due sfere sega queste lungo due cerchi, i cui centri di similitudine (n." 160, es. 14) ) non variano, mentre quel piano mota intorno alla retta CC\ e diconsi centri di similitudine (interno ed esterno) delle due sfere. Date le coordinate dei centri C, C ed i raggi delle sfere, si determinino le coordinate dei due centri di similitudine. Ciascuno di essi è vertice di uu cono rotondo circoscritto ad ambedue le sfere. 26) Si estendano ai centri di similitudine di tre sfere, prese due a due, i risultati enumerati nell' es. 15) del n." 160. 27) Quattro sfere, prese due a due, danno complessivamente dodici centri di similitudine. Si dimostri che i sei centri di similitudine esterni sono in un piano, e a tre a tre su quattro rette ; i tre centri di similitudine interni, che tre delle sfere determinano colla quarta, e i tre esterni, che quelle determinano fra loro, sono pure in un piano, e a tre a tre su quattro rette; e finalmente i quattro centri di similitudine interni, che due delle sfere determinano colle altre due, e i due esterni della prima e seconda coppia di sfere sono in un piano, e a tre a tre su quattro rette. IV. Inversicne rispetto a una sfera. — 28) Il concetto di trasformazione per raggi vettori reciproci, o inversione, rispetto a un centro rf' inversione e ad una sfera fondamentale col centro in quel punto, è una estensione imme- diata di quello stabilito nel piano (v. n." 160, es. 16) e seg.). Enunciamo sol- tanto le proprietà fondamentali, facili a dimostrarsi direttamente. Le coordinate di due punti P{x, y, z), F'{x', y' , z') corrispondenti {inversi) sono legate dalle formole ^, r'^x r^y r^z , , ^'^ 2-^ ' + ÌJ^ + ^ ~ x-^ + y-^ + z-^' ~ ~" 2--J a;2 + 2/2 + ' dove r è il raggio della sfera fondamentale. Una sfera ed un cerchio (intersezione di due sfere) sono trasformati generalmente in una sfera ed in un cerchio; se però quelli passano \ìer 0, le figure trasformate sono rispettivamente un piano ed una retta. E viceversa. Sfere corrispondenti segano la sfera fondamentale in uno stesso cerchio (reale o immaginario), e determinano un fascio, cui appartiene 1" ultima sfei-a. 29) Due piani, o due rette, secautisi formano lo stesso angolo delle due sfere, o dei due cerchi {inversi), in cui si mutano mediante una inversione. Donde segue che l'angolo di due superficie, o di due curve qualsiasi, in un
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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dove si è posto per brevità — 7
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— 83 - ^ = — • Ed operando or
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— 85 — notiamo che il punto med
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— so- sia divisa armonicamente da
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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— 321 — e perchè noi supponiam
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 461 — sono paralleli agli asi
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— 463 — 12) n prodotto di due a
Page 479:
— 465 — parallela alla retta P,
Page 482 and 483:
— 468 — rebbe quando fosse rich
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- 470 — dove si suppone precisame
Page 486 and 487:
— 472 — sistema di coordinate p
Page 488 and 489:
— 474 — In modo perfettamente a
Page 490 and 491:
— 476 — comprenderà ora a prio
Page 492 and 493:
— 478 — punti dati, si possa co
Page 494 and 495:
— 480 — blema mostreremo tra po
Page 496 and 497:
— 482 — II. Sia data una riga a
Page 498 and 499:
^ 484 — dove p, q possono riguard
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— 486 — sarà noto a priori (ca
Page 502 and 503:
— 488 — angoli particolari che
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— 490 — 278. Il problema della
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— 492 — 6) Retta generica del f
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— 494 — 21) Condizioni perchè
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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497 — Parte Quarta. Geometria ana
Page 517 and 518:
— 499 — e la terza coordinata {
Page 519 and 520:
— 501 — Indicando i tre denomin
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— 503 — Viceversa : ogni equazi
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— 505 — 287. Condizione di para
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(!') — 507 — 289. Equazioni di
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— 509 — se invece sta sopra xy^
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— 511 — Questa rappresenta un p
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— 513 — allora, od esiste un si
Page 533 and 534: — 515 — punto (2, — 1, 1) e p
Page 535 and 536: — 517 — spezzate aventi gli ste
Page 537 and 538: — 519 — 297. Distanza dì due p
Page 539 and 540: e quindi , 'cosxr = — , — 521
Page 541 and 542: — 523 — Per calcolare il seno d
Page 543 and 544: — 525 — Ora questi risultati, e
Page 545 and 546: — 527 — Similmente si vede che
Page 547 and 548: — 629 — quarto vertice dalla fa
Page 549 and 550: — 531 — ordine uguagliato a zer
Page 551 and 552: — 533 — perpendicolare. (Es. nu
Page 553 and 554: — 535 — di geometria elementare
Page 555 and 556: — 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558: — 539 — Si osserverà che i nov
Page 559 and 560: — 541 — cartesiano^ le coordina
Page 561 and 562: ^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564: — 545 — togliere, introducendo
Page 565 and 566: — 547 — genee, giova tuttavia t
Page 567 and 568: — 549 — piani P; riguardata sot
Page 569 and 570: — 551 — Si ha qui una giustific
Page 571 and 572: — 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
Page 573 and 574: — 555 — dove i k l m B una qual
Page 575 and 576: — 557 — Per costruire un punto
Page 577 and 578: — 559 — che si possa dedurre co
Page 579 and 580: — 561 — Il teorema si dimostra
Page 581 and 582: — 563 — come piano XY di un nuo
Page 583: — 565 — II. — 10) Trovare 1'
Page 587 and 588: — 569 — D' altra parte è spess
Page 589 and 590: X — a
Page 591 and 592: — 573 — Se il vertice coincide
Page 593 and 594: — ; 576 — equidistanti dal punt
Page 595 and 596: — 577 — essi (n.° 312). Tra gl
Page 597 and 598: — 579 — dello spazio mediante u
Page 599 and 600: — 581 — quel modo, pur di scegl
Page 601 and 602: -^ 583 — glianze (1). Si conclude
Page 603 and 604: — 585 — una posizione assunta d
Page 605 and 606: — 587 — uniti, ed i cui spigoli
Page 607 and 608: — 589 — piani corrispondenti, s
Page 609 and 610: — 591 — Finalmente se, dato un
Page 611 and 612: ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
Page 613 and 614: — 595 — 839. Polarità nello sp
Page 615 and 616: — 597 — Esercizi. I. — 1) Una
Page 617 and 618: — 599 — si osservi che le condi
Page 619 and 620: — 601 — 18) Assunto r asse di u
Page 621 and 622: — 603 — (n.*' 323), r ellissoid
Page 623 and 624: — 605 — La curva intersezione d
Page 625 and 626: — 607 — punto comune alle due r
Page 627 and 628: — 609 — 345. Per costruire il p
Page 629 and 630: — 611 — P', mentre il coefficie
Page 631 and 632: — 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634: — 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
Page 667 and 668:
— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
Page 677 and 678:
— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
Page 711 and 712:
Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
Page 727 and 728:
— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
Page 733 and 734:
— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
Page 741:
— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
Page 753 and 754:
— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
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— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
show all

Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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