Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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corrispondono ordinatamente gli elementi A', B', C D' E' . . .
della seconda, scriveremo
(1) ABCDE ... -K A'B'C'D'E' .
La (1) (nella quale si può anche supporre che a sinistra, e
quindi a destra, sia scritto un numero finito n ^ 4 di elementi
corrispondenti delle due forme) riassume le uguaglianze che si
ottengono, scegliendo in tutti i modi quattro elementi della prima
forma, e paragonandone il doppio rapporto a quello degli elementi
corrispondenti della seconda forma. Sappiamo però (n.'* 57, e))
che le dette uguaglianze non sono tutte indipendenti, ma sono
conseguenze di quelle che si ricavano dalla
(2) {ABCX) = (A'B'C'X'\
col sostituire al posto di Xe X', una volta D, D', una seconda
volta E^ E', ecc.
Qui si osservi che se l' elemento X descrive la prima forma
partendo da ^ e muovendosi nel verso ABC, il primo mem-
bro, e quindi il secondo membro, della (2) varia crescendo da
— Go a + Go (n.° 41), donde segue che l'elemento X' parte
da A' e descrive la seconda forma nel verso A' B' C . La
proiettività è adunque una corrispondenza ordinata, per la quale
ad elementi che si susseguono in un verso, ad es. ABC,
sull'una forma corrispondono elementi che si susseguono in un
verso, ad es. A'B'C, sull'altra forma.
11 concetto di corrispondenza proiettiva (sotto il nome di collineare)
è dovuto a M obius ( 1827 ) ; di essa si occuparono successivamente Steiner
(1832), che adottò la denominazione da noi accolta, Chasles (1831;, che
disse omografica la corrispondenza, Stauut (1847) . . .
59. Gli esempi di corrispondenze proiettive portati nel n° 57
danno luogo ai seguenti teoremi:
a) Due forme di prima specie che si ottengano V una dal-
l' altra mediante una o piìi operazioni di proiezione e sezione, sono
riferite proiettivamente; e vedremo tra poco che sussiste pure
il teorema inverso.
b) L' uguaglianza tra due forme di prima specie è una par-
ticolare proiettiva à ; in altre parole: se una forma di prima specie
si assoggetta ad un movimento (che non alteri entro ad essa
la mutua posizione degli elementi), tra la posizione iniziale e
la posizione finale della forma passa una proiettività, per cui si
. .