Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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l'identità. Caso particolare k = — 1; caso che B e C siano punti impropri,
ad es. in direzioni ortogonali.
V. — 24) Data una affinità fra due piani sovrapposti, determinarne
(analiticamente e graficamente) i punti uniti.
25) Le affinità fra due piani sovrapposti si distinguono in dirette ed
inverse, secondo che aree di figure corrispondenti hanno segni uguali od
opposti. Date le equazioni di una affinità (riferite ad un unico sistema di
assi), dal segno di un certo determinante si deduce se l'affinità è diretta
od inversa. Ogni affinità inversa subordina sulla retta all'infinito una
proiettività discorde (n." 78, es. 3)), ed ha quindi all'infinito due punti uniti,
sempre reali e distinti fra loro; un'affinità diretta può non avere punti uniti
reali all'infinito, od averne uno solo, od averne due.
26) Qual valore assoluto ha il determinante nominato nell'es. prece-
dente, se la affinità è equivalente? Si scrivano, sotto la forma più semplice
che possono assumere, le equazioni di una affinità equivalente fra piani
sovrapposti, distinguendo i vari casi relativi all'esser diretta od inversa
l' affinità, od alla realtà . . . dei punti uniti.
VI. — 27) Due stelle proprie collineari diconsi uguali, se l'angolo di due
rette qualisivogliano dell'una stella è uguale all'angolo delle rette corrispon-
denti dell' altra, e quindi diedri corrispondenti sono uguali. Ora si dimostri
che due stelle sono uguali, se ad ogni triedro trirettangolo dell' una corri-
sponde un triedro trirettangolo dell'altra (n.° 89, Oss.),
28) Due stelle proprie uguali, concentriche, ammettono sempre una
retta (reale) unita tale, che facendo ruotare una stella di un diedro conve-
niente intorno a quella retta, essa viene a coincidere coli' altra stella,
elemento per elemento; ogni rotazione di una figura intorno ad un punto
equivale dunque ad una rotazione intorno ad una retta uscente dal punto.
Se oèc..., a'b'c' . . . sono due figure appartenenti a due stelle (concen-
triche o distinte), e tali che ab ^ a'h' , ac = a'c',
.
.. (mod. n), si può con
un movimento conveniente sovrapporre l' una figura all'altra; ma quest'ul-
timo fatto vale per figure composte di intere rette, e può cadere in difetto
per figure composte di semirette ( ad es. per i triedri della geometria ele-
mentare).
VII. — Sulle affinità circolari. — 29) Dicesi (con Mòbius) affinità circo-
lare una corrispondenza biunivoca fra due piani punteggiati ti, ti', la quale
trasformi i punti di un qualsiasi cerchio di ti nei punti di un cerchio di ti',
e viceversa. In questa teoria le rette vengono ad esser riguardate come
cerchi particolari; l'affinità circolare trasformerà dunque una retta in un
cerchio o in una retta. Ora, se ogni retta di ti vien trasformata in una retta
di Ti', l'affinità circolare è una particolare collineazione (n.° 165), e preci-
samente una similitudine (es. 10)).
30) Se, al contrario, le rette di tc vengono trasformate in cerchi di ti',
dovranno questi segarsi a due a due in un solo punto variabile, col variare
dei detti cerchi, e precisamente in quel punto che corrisponde alla inter-
sezione delle rette corrispondenti. Segue che i cerchi nominati passeranno