Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

— 215 —
UN. La ipotesi è dunque che le rette congiungenti i vertici
omologhi dei due triangoli passino per uno stesso punto. Le (4)
finalmente rappresentano, come è facile vedere, i punti d'in-
contro dei lati omologhi dei due triangoli ; dal fatto che le (4),
sommate membro a membro, forniscono una identità, si conclude
questa volta (n.'' 129, e')) che i tre punti ora nominati stanno
sopra una stessa retta, e. d. d.
Esercizi — 1). Quale è la distanza del punto F{X, Y) dalla retta
r{U, F)? Quale è l'angolo delle due rette {U, V), {U', V')?
2) Se una retta si muove in un piano in guisa che sia nulla la somma
delle distanze da essa di 7i punti dati Mi. moltiplicate ordinatamente per
n numeri dati p» {i = 1, 2 . . . n), la retta descrive un fascio intorno al
baricentro dei punti Mi presi coi pesi pi (n.° 110. es. 6)). Si consideri il caso
particolare die sia nulla la somma dei pesi.
3) Scrivere le formule di trasformazione per le coordinate pliickeriane
(non omogenee), quando si muta il sistema di riferimento.
4) Quali punti immaginari rappresentano le due equazioni ii zt iv = 0?.
* 132. Coordinate proiettive di punti. — Le coordinate
cartesiane (rese omogenee, quando convenga) permettono, come
dicemmo, di studiare anche le proprietà proiettive del piano;
esse però non offrono il sistema più adatto per quest'ultimo
studio. Ciò dipende dal fatto che la definizione del sistema
cartesiano è fondata sopra concetti metrici (parallelismo). Segue
ad es. che quella definizione non può tradursi per dua-
lità, in guisa da condurre ad un sistema di coordinate nel
piano rigato (il sistema pliickeriano fu introdotto mediante
considerazioni di altra natura); né può estendersi alle altre
forme di seconda specie, stella di rette o di piani. Segue
ancora che le coordinate dei punti di una figura piana si
alterano, quando la figura venga proiettata sopra un altro
piano.
Per ovviare a questi inconvenienti si è cercato di definire
un sistema di coordinate proiettive {che com'pTen.de il csirtesia,no
come caso particolare), partendo da nozioni puramente proiet-
tive. Noi vi giungeremo nel modo più naturale, procurando
anzitutto di esprimere le ordinarie coordinate cartesiane me-
diante doppi rapporti di punti, alcuni dei quali impropri, e
liberandoci poi dalla restrizione relativa alle particolari posi-
zioni di questi ultimi punti.