Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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facile però stabilire che il teorema sussiste pure in coordinate
oblique; sussiste anzi, in generale, quando la quadrica si rife-
risca ad un sistema di coordinate proiettive qualsiasi. Ma su
questa estensione, che è legata colle considerazioni del n.°
seguente, non vogliamo qui trattenerci.
398. Classificazione proiettiva delle quadriche. — La
classificazione delle quadriche, contenuta nelle tabelle precedenti,
è fondata sopra criteri metrici. Sotto V aspetto proiettivo,
quando si riguardino come equivalenti due quadriche trasfor-
mabili r una neir altra mediante una collineazione reale (rap-
presentata cioè da una sostituzione lineare a coefficienti reali),
si è condotti a distinguere un minor numero di tipi. Precisa-
mente :
le quadriche non degeneri, sotto V aspetto proiettivo, si
distribuiscono nelle tre famiglie seguenti : 1) quadriche a punti
immaginari ; 2) quadriche a punti reali ellittici (o non rigate)]
3) quadriche a punti reali iperbolici (o rigate). Ogni quadrica
di una di queste famiglie è trasformata da una collineazione
in una quadrica della famiglia stessa ; ciò è evidente, quando
si pensi che una collineazione muta punti e rette reali di una
quadrica in punti e rette reali della quadrica trasformata. Ma,
viceversa, si dimostra (e qui basti l'enunciato) che, date due
quadriche di una stessa famiglia, si può sempre formare (e in
infiniti modi) una collineazione, che muti V una quadrica nel-
V altra. Per esempio ogni quadrica reale non rigata (ellissoide
reale, iperboloide a due falde, paraboloide ellittico) può esser
sempre trasformata in una sfera reale, mediante una colli-
neazione (cfr. n." 369, es. 3), 4)).
La prima e la terza delle tre famiglie sopra indicate cor-
rispondono a valori positivi del discriminante A ;
conda famiglia invece è A •