Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 248 — Capitolo V. Il cerchio ed altre curve particolari. 152. Cerchio determinato da tre punti. — Vogliamo in questo Capitolo applicare a curve particolari varie nozioni esposte in generale nel Capitolo che precede. Ci occuperemo anzitutto del cerchio. L'equazione (detta da alcuni normale) del cerchio in coordinate ortogonali è, come sappiamo (n.° 143), del tipo (1) x^- + y^ - 2ax - 2py -\- y = 0^ dove a, ^ sono le coordinate del centro ed r = ya^ -j- /?^ — y è il raggio (reale o immaginario). Poiché l'equazione dipende da tre coefficienti a, /?, 7, si potrà assoggettare un cerchio a tre condizioni traducentisi in altrettante relazioni fra quei coefficienti. Così, se si vuole che il cerchio passi per tre punti asse- gnati (xi, 7/1), {x2i 2/2), {xz^ ys), dovranno esser verificate le tre equazioni di condizione ^i^ + Vi^ — 2«a:;e — 2^y.- ^ y = 0, (i = 1, 2, 3) le quali permettono di calcolare a, /?, y. Il risultato della sosti- tuzione di questi valori nella (1) si ottiene direttamente eliminando a, ^, y fra la (1) e le tre equazioni di condizione. Si giunge cosi all'equazione x^ -{- y^ X y 1 xi^ + yi^ xi yi 1 ^3^ + 2/3^ X3 ya 1 che rappresenta appunto il cerchio richiesto. 153. Equazione polare di un cerchio. Potenza di un punto rispetto ad un cerchio. — Assumendo come polo ed asse polare di un sistema di coordinate polari (q, go) l'origine e l'asse X del sistema cartesiano sopra adoperato, si arriva, colle note formole di trasformazione (n.° 123), a scrivere l'equazione polare del cerchio (1) sotto la forma = 0, (2) Q^ — 2 (a cos g) -\- ^ sen ?>)() -j- y = 0.
— 249 — Per ogni valore di
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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— 3 — IIF. Lo spazio di piani,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 15 — a') Ritornando alla figu
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— 17 — E sembra appunto che gli
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— 23 — diversi, sono Vuno proie
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— 25 — nel piano PSA, devono se
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— 29 — problema generalmente no
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— 35 — Noi possiamo far ciò se
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— espili ampia che chiameremo A^]
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— 45 — furono dette di prima sp
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— 47 — Col metodo da n ad n -]-
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— 51 — scini con se il proprio
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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— 57 — denza biunivoca che vien
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— 59 — la figura da un punto 8
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— 61 — Il procedimento si esten
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— 63 — 10) Nel caso particolare
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— 65 — (cc^y) senay senaó nel
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— 67 — ( A Ti C^ infatti se il
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dove si è posto per brevità — 7
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— 73 — dinate proiettive ^',, A
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— 75 — sopra nominati, ad es. d
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— 79 — omologici e precisamente
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— 81 — In un gruppo armonico di
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— 83 - ^ = — • Ed operando or
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— 85 — notiamo che il punto med
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— so- sia divisa armonicamente da
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— 91 — Capitolo II. Proiettivit
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— 93 — doppio rapporto dei quat
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— 103 — Se un punto sopra u va
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— 107 — da u' ad u. Il punto uu
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— 109 — E importante notare che
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 113 — liari {8 ed 8\ oppure s
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— 115 — u'. 1 punti M, 0, N si
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— 117 — 71. Elementi uniti di u
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— 121 — proiettività parabolic
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— 123 — A, B, C . . . della cir
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— 125 — Se nella proiettività
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— 127 — è omologico al triango
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— 129 — Supponiamo, al contrari
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— 133 — cìenti delle (4). Con
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— 135 — il teorema duale) la in
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— 137 — la involuzione appartie
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— 139 — Se Z7 è punto doppio d
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— 141 — La involuzione circolar
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— 147 — menti (n.** 68), od in
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— 149 — dalla determinazione do
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— 151 — distanza. Qua!' è il m
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— 153 — ed è iperbolica, parab
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 159 — vertice, saranno negati
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— 161 — Proiettiamo i punti Pi,
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— 163 — la quale esprime che i
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— 165 — ad es. sotto la forma (
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— 167 — e la medesima relazione
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— 169 — Di qua si deduce subito
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— 171 - gnano polinomi contenenti
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— 173 — 5) Risolvere i problemi
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— 175 — si può costruire una s
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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— 179 — ' sulle relazioni (a),
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— 181 — determinare. Ricordiamo
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— 183 — ed il termine noto, i r
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— 185 — questa convenzione cost
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— 187 — è espressa dall' annul
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— 189 — Pi Q, si inverta il ver
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— 191 — Osseryazìone. — La c
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— 193 — un punto (n.° 89), rif
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— 195 — torno chiuso curvilineo
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i — 301 — *' ed j, generalmente
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i — 307 — reale), q^ = q^, giac
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i — 309 — * 185. Uguaglianza fr
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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l — 313 — 17) Due piani simili
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— 315 — tutti per uno stesso pu
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 319 — nate della retta p', ch
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 323 — dremo nella teoria dell
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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— 327 — 7) Sopra ogni retta di
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— 329 — 3) Introdotta sul princ
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— 331 — curva x^ -\- y'^ = 0; c
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— 333 — La prima definisce il p
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 339 — 1) Si formino le deriva
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— 341 — l'equazione della tange
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(7) A = — 343 — l'altro dalla r
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— 345 — 304. Metodo delle polar
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— 349 b) Le intersezioni di una c
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— 355 — e si noti che, quando M
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I — 357 — zioni della retta VP
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— 363 — gli ortocentri dei quat
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i — 367 — a, 6' le tangenti in
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— 369 — Queste proposizioni, di
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— 371 — Segando il primo fascio
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 379 — una conica è iscritta
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— 401 — La prima proposizione s
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— 403 — gonali^ proponiamoci di
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— 409 — dovrà la (d) mancare d
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— 411 — II) Se nella (2) faccia
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— 413 — 244. Alcune formole rel
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— 415 — dove p è una costante
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— 417 — nelle (a), basterà far
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— 419 — caso. Ma si può chiede
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— 421 — Un terzo invariante si
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— 423 — dunque: nel passaggio d
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— 425 — nelle quali le incognit
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— 427 — 252. Teoremi di Apollon
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— 429 — 3) Scrivere l' equazion
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— 431 — 17) Dati sulla conica A
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— 433 — diagonale PQ; queste pe
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— 435 — Capitolo V. Proprietà
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— 437 — la involuzione dunque
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— 439 — Ciò premesso, assumiam
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— 441 — Per enunciare il risult
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— 443 — è indipendente dalla c
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 447 — lori costanti, coordina
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— 449 — rette formanti fascio c
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I — 451 — dei segmenti cosi ott
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— 453 — 38) Da questo teorema e
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— 455 — Al contrario, le propri
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— 457 — il piano di K' intorno
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— 463 — 12) n prodotto di due a
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- 470 — dove si suppone precisame
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— 476 — comprenderà ora a prio
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— 478 — punti dati, si possa co
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— 480 — blema mostreremo tra po
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— 482 — II. Sia data una riga a
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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— 486 — sarà noto a priori (ca
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— 488 — angoli particolari che
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— 490 — 278. Il problema della
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— 492 — 6) Retta generica del f
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— 494 — 21) Condizioni perchè
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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497 — Parte Quarta. Geometria ana
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— 499 — e la terza coordinata {
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— 501 — Indicando i tre denomin
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— 503 — Viceversa : ogni equazi
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— 505 — 287. Condizione di para
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(!') — 507 — 289. Equazioni di
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— 509 — se invece sta sopra xy^
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— 511 — Questa rappresenta un p
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— 513 — allora, od esiste un si
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
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— 741 — 197. Intersezioni di un
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— 743 — Cap. V. Proprietà foca
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— 745 — 300. Angolo di due rett
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— 747 — 362. Quadriche a punti
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Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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