Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 228 — una sola incognita /"(«, darà per y certi valori y) = 0, equazione la quale, yy = ò, h' , h" . . . I punti risolta, ci P(a, ò), P'(a, ò'X ^"(^, ò")... appartengono al luogo. Attribuendo ad x un nuovo valore «j, e calcolando i corrispondenti valori di y^ troveremo nuovi punti del luogo; e così si potrà continuare. Nei casi che avremo da trattare, quei punti si susseguiranno lungo una o più curve, che sono definite dalla equazione (2). Inversamente, data nel piano una curva, le coordinate x, y di un punto che la descriva, saranno legate da una certa relazione, che potrà scriversi simbolicamente sotto la forma (2), e si dirà equazione della curva. Osservazione. — Di questa rappresentazione geometrica delle funzioni (o delle equazioni (1)) si approfitta spesso nelle scienze di osservazione, dove talvolta si costruiscono curve (^diagrammi) per presentare in modo sensibile i risultati di una serie di osservazioni ; talvolta invece la curva vien tracciata di- rettamente, ad es. mediante strumenti registratori, e da quella si cerca di dedurre la funzione. E pur da notarsi che la rappresentazione geometrica ha suggerito agli analisti le prime proprietà generali delle funzioni, che oggi si dimostrano in modo rigoroso senza ricorrere all'intuizione geometrica. 138. Intersezioni di due curve. — Se (1) f{x, y) = 0, 9>(:r, y) = sono le equazioni di due curve riferite ad uno stesso sistema di coordinate, la ricerca dei punti di incontro di quelle, si riduce alla ricerca delle coppie di valori {x, y) che soddisfano insieme alle equazioni (1); queste coppie si ottengono risolvendo il sistema (1) rispetto alle incognite x, y. Possiamo dire che il sistema (1) rappresenta il gruppo delle nominate intersezioni, gruppo che potrà comporsi, secondo i casi, di un numero finito o infinito di punti. 139. Studio di una curva piana partendo dalla sua equazione. — Riprendiamo in esame una sola curva e la sua equazione in un determinato sistema di coordinate. La stretta connessione che passa fra curva ed equazione dà luogo ad una serie di problemi fondamentali, che possono distribuirsi nei due gruppi seguenti.
— 229 — I.'' Definire e studiare le curve partendo dalle equazioni rappresentative- classificare le curve secondo la natura delle equazioni, dedurre da queste la forma, le principali proprietà delle curve corrispondenti, assegnare possibilmente una semplice costruzione della curva. II. Definita una curva mediante una costruzione geometrica (o meccanica), o mediante una proprietà di quella, scrivere la equazione rappresentativa in un sistema prefisso di coordinate. Occupiamoci intanto del primo problema. E notiamo anzitutto che, in certi casi, l'aspetto della equazione lascia subito vedere come la curva sia formata. Cosi, in coordinate cartesiane, una equazione che contenga una sola coordinata variabile, rappresenta un gruppo di rette parallele ad uno degli assi. Ad es., data la equazione (1) f{x) = 0, e posto che essa sia soddisfatta da certi valori di x X =z a, a', . . ., è chiaro che i punti soddisfacenti colle loro coordinate alla (1) appartengono alle rette x =^ a, x = a', . . ., sicché queste rette, parallele all'asse y, compongono la linea rappresentata dalla (1). Se la equazione data contiene le due coordinate x, y, omoge- neamente, di guisa che possa assumersi come unica incognita il rapporto ~, e l'equazione possa scriversi la linea corrispondente è costituita da un gruppo di rette uscenti dalV origine, aventi le equazioni ~ = K ~ = k', ^^ = k'^,..., y y ' dove à, k\ k" ... sono le radici della (2). y ' ^ Osservazione. — Il tipo di equazione (1) è d'altronde ana- logo al tipo (2), giacche se si adottano coordinate cartesiane omogenee x, y, z, la (1) diviene f{~) = 0. 140. Curve algebriche; ordine della curva. — Le curve piane si sogliono classificare in relazione alle equazioni che le rappresentano in coordinate cartesiane Q). Se la equazione della (^) E necessario ricordare che la classificazione muterebbe totalmente quando la curva si riferisse a coordinate non cartesiane, né proiettive.
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— espili ampia che chiameremo A^]
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dove si è posto per brevità — 7
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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- e\c -j- Q cos f) = —
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564:
— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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