Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

e infine
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PF' — PF = ± 2a.
Si giunge cosi all'importante teorema:
Nella ellisse è costante la somma dei due raggi focali di un
punto^ ed è uguale all'asse maggiore. Nella iperbole è costante la
differenza dei raggi focali di un punto ^ ed è uguale all'asse
trasverso.
Del teorema è pur vero l'inverso ;
sappiamo infatti (n.° 162, a))
che il luogo di un punto, le cui distanze da due punti fìssi ab-
biano una data somma o una data differenza, è una ellisse od
una iperbole.
257. Direttrici di una conica a centro. — Riprendiamo la
espressione del raggio focale PF di un punto P{x, y), cioè,
facendo astrazione dal segno,
(4) PF = a — ex.
Essa contiene linearmente le coordinate del punto P (e ciò
qualunque siano gli assi coordinati, a cui la conica venga rife-
rita, n.° 141). Ora questo fatto algebrico (che vale a caratte-
rizzare i fuochi) trova una semplice interpretazione geometrica.
Si consideri infatti quella retta, la cui equazione si ottiene ugua-
gliando a zero la espressione nominata ;
(5) a — ex = 0,
ossia
a a^
e e
nel nostro caso, la retta
La distanza PQ del punto P{x, y) dalla retta (5) differisce
solo per un fattore dal valore che assume il primo mem-
bro della (5), quando al posto delle variabili si pongano le
coordinate di P(n.° 116); e precisamente (fatta astrazione dal
segno)
:
^„ a — ex a
PQ = = X,
e e
come risulta pure dalle figure di pag. 439. Questa relazione,
ricordando la (4), ci dà
PF _
PQ ~ "'
indipendente dalla posizione di P. •