Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 72 — Per dimostrare la seconda parte del lemma attribuiamo ad X quattro valori arbitrari .^i, x-t,^ a^s, 374, e siano y = • ifrì-f (' = '' 2- '' *) i valori corrispondenti di y. Si ha per definizione ossia Ora è (Vu 2/2, 2/3, Vi) 2/1 — Vh = — yAnJii y^ ~ y^ . y2 — ' y^ y2 — y^ mxi -\- n mxs -\- n pxx -f 1 P^^ "f ? (ma — np) (xi — x^) Mutando a primo e secondo membro l'indice 1 in 2, abbiamo similmente {mq — np) {x^ — x^) y'' •^' ~ {px-2 + q)(px3 -f q)' e dividendo membro a membro le due eguaglianze, (tenuto conto della mq — nj? == 0) yi — y a xi -^X3 _ px.2 -{- q ^ y-2 — 2/3 X2 — X3 pxi + q Mutando in questa l'indice 3 in 4, si ha yi — Vi Xr — Xj ^ pxj -f q yi — Vi x-ì — Xi pxi -|- q e dividendo le due ultime uguaglianze membro a membro, y±ZL^y3_ . yi — Vi a^i — xa . Xi — Xj y% 2/3 2/2 — 2/4 X-2 — X3 ' X^ Xi^ ossia in simboli (?/l! 2/2, 2/3, 2/4) = (-^1, ^2, 373, 374); come dovevasi dimostrare. 45. Doppio rapporto di quattro elementi di una forma di 1.'^ specie espresso mediante le coordinate proiettive degli elementi stessi. — Possiamo limitarci al caso che la forma sia una punteggiata, poiché a questo può ridursi ogni altro mediante una sezione (ciò che non altera né le coordinate proiettive degli elementi, né il loro doppio rapporto). Siano dunque Ifi, M%^ Jfg, M^ quattro punti di una retta aventi (in un certo sistema di riferimento ^, -B, C) le coor- '
— 73 — dinate proiettive ^',, A;2, ^"35 ^4- Scelto un punto della retta come origine di un sistema di ascisse, siano xi, x^, .ì?3, Xì le ascisse dei quattro punti; tra le A; e le rr passeranno allora (n." 43) relazioni del tipo ^.= flr$f. (' = 1.2,3,4), dove ni, w, p, q sono quattro costanti tali che mq — n]) ^ 0. Ora, in virtù del lemma precedente, sarà (ki, k-ì, ksj ki) =: (xij X2, x^, Xi). Ma il secondo membro esprime (n." 43) il doppio rapporto (Jfi M
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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— 3 — IIF. Lo spazio di piani,
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— 5 — fascio, chiamando proprio
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— 7 — Segue che i punti impropr
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 15 — a') Ritornando alla figu
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— 17 — E sembra appunto che gli
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— 19 — ha dunque per corrispond
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— 125 — Se nella proiettività
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— 129 — Supponiamo, al contrari
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— 133 — cìenti delle (4). Con
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— 135 — il teorema duale) la in
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— 137 — la involuzione appartie
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— 139 — Se Z7 è punto doppio d
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— 141 — La involuzione circolar
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— 143 — delle due direzioni ass
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— 145 — opposti del triangolo,
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— 147 — menti (n.** 68), od in
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— 149 — dalla determinazione do
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— 151 — distanza. Qua!' è il m
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— 153 — ed è iperbolica, parab
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 157 — Parte Seconda. Geometri
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— 159 — vertice, saranno negati
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— 161 — Proiettiamo i punti Pi,
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— 163 — la quale esprime che i
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— 165 — ad es. sotto la forma (
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— 167 — e la medesima relazione
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— 169 — Di qua si deduce subito
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— 171 - gnano polinomi contenenti
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— 173 — 5) Risolvere i problemi
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— 175 — si può costruire una s
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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— 179 — ' sulle relazioni (a),
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— 181 — determinare. Ricordiamo
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— 183 — ed il termine noto, i r
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— 185 — questa convenzione cost
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— 187 — è espressa dall' annul
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— 189 — Pi Q, si inverta il ver
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— 191 — Osseryazìone. — La c
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— 193 — un punto (n.° 89), rif
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— 195 — torno chiuso curvilineo
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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— 199 — Ma per le (1) X = x' -^
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— 201 — Esercìzi. — 1) Come
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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— 205 — Questa è soddisfatta,
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— 207 — Come le coordinate omog
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— 209 — fondamentali sulla mutu
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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— 213 — di numeri, e le ^ rette
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— 215 — UN. La ipotesi è dunqu
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— 217 — H punto Z ha le coordin
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— 219 — Riunendo questa alle (1
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— 221 — di un piano^ valgono an
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— 223 — cati per convenienti fa
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— 225 — Esercizi, — 1) Assunt
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— 227 — che non riesca possibil
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— 229 — I.'' Definire e studiar
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— 231 — 141. Invariabilità del
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— 233 — curva, e si riguarderan
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— 235 — trica a cui obbedisce u
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— 237 — del primo sistema; i pu
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— 239 — nazione di A:; e la ope
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— 241 — quando siano assegnate
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— 243 — punti dovrà tendere a
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% — 245 — continuità, si consi
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— 257 — nati potrebbero riguard
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— 259 — superiori o inferiori.
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— 261 - punti B, B' di ordinate y
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e fatto z - 263 —
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— 265 — delle note disuguaglian
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— 267 — retta x sopra cui quest
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— 269 — \si OA perpendicolare a
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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— 273 — cerchio mobile in un de
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i — 275 — 6) Un' altra generazi
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I — 277 — 7t^ n\ proiettando i
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— 279 — proiettino da S, S' uno
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— 281 — lora A', B', C, D' sono
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i — 283 — Ma allora applicando
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— 285 — e viceversa^ ed ogni re
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I — 287 — (dove Aik ^ il comple
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— 289 — * Osservazione II. —
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— 291 — lasciano vedere che, pe
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— 293 — finito dei due piani si
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— 295 — se vi è un terzo punto
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— 297 — questa forma, vi sarà
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l — 299 — Se poi di una retta a
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i — 301 — *' ed j, generalmente
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i — 303 — e) Se finalmente il c
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l — 305 — trova che le coordina
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i — 307 — reale), q^ = q^, giac
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i — 309 — * 185. Uguaglianza fr
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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l — 313 — 17) Due piani simili
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— 315 — tutti per uno stesso pu
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 319 — nate della retta p', ch
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 323 — dremo nella teoria dell
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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— 327 — 7) Sopra ogni retta di
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— 329 — 3) Introdotta sul princ
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— 331 — curva x^ -\- y'^ = 0; c
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— 333 — La prima definisce il p
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— 335 — nel campo proiettivo ;
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 339 — 1) Si formino le deriva
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— 341 — l'equazione della tange
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(7) A = — 343 — l'altro dalla r
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— 345 — 304. Metodo delle polar
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— 347 — F (u^ V, w), come la co
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— 349 b) Le intersezioni di una c
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— 351 — e sega pure il secondo
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— 353 — dai quali si conducano
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— 355 — e si noti che, quando M
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I — 357 — zioni della retta VP
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— 359 — a primo grado, si ricon
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— 361 — in punti coincidenti da
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— 363 — gli ortocentri dei quat
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— 365 — 32) Dal teorema dell' e
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i — 367 — a, 6' le tangenti in
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— 369 — Queste proposizioni, di
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— 371 — Segando il primo fascio
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 379 — una conica è iscritta
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— 381 — reale e distinta da que
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— 383 — tre coniche degenen (a
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— 385 — Se ora si suppone che d
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— 387 — colare alla tangente),
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— 389 — 7) Determinata una coni
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— 391 — Im- sicché ± Vx^ -\-
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— 393 — è tangente a K) i}). (
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— 395 — dove À, fi. V sono par
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— 397 — Partendo dall' equazion
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— 399 — La costruzione degli as
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— 401 — La prima proposizione s
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— 403 — gonali^ proponiamoci di
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— 405 — 7) Dati in grandezza e
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— 407 — 25) Ad una schiera di c
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— 409 — dovrà la (d) mancare d
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— 411 — II) Se nella (2) faccia
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— 413 — 244. Alcune formole rel
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— 415 — dove p è una costante
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— 417 — nelle (a), basterà far
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— 419 — caso. Ma si può chiede
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— 421 — Un terzo invariante si
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— 423 — dunque: nel passaggio d
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— 425 — nelle quali le incognit
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— 427 — 252. Teoremi di Apollon
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— 429 — 3) Scrivere l' equazion
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— 431 — 17) Dati sulla conica A
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— 433 — diagonale PQ; queste pe
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— 435 — Capitolo V. Proprietà
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— 437 — la involuzione dunque
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— 439 — Ciò premesso, assumiam
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— 441 — Per enunciare il risult
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— 443 — è indipendente dalla c
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 447 — lori costanti, coordina
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— 449 — rette formanti fascio c
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I — 451 — dei segmenti cosi ott
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— 453 — 38) Da questo teorema e
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— 455 — Al contrario, le propri
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— 457 — il piano di K' intorno
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— 459 — quella affinità che tr
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— 461 — sono paralleli agli asi
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— 463 — 12) n prodotto di due a
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— 465 — parallela alla retta P,
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— 468 — rebbe quando fosse rich
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- 470 — dove si suppone precisame
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— 472 — sistema di coordinate p
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— 474 — In modo perfettamente a
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— 476 — comprenderà ora a prio
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— 478 — punti dati, si possa co
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— 480 — blema mostreremo tra po
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— 482 — II. Sia data una riga a
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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— 486 — sarà noto a priori (ca
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— 488 — angoli particolari che
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— 490 — 278. Il problema della
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— 492 — 6) Retta generica del f
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— 494 — 21) Condizioni perchè
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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497 — Parte Quarta. Geometria ana
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— 499 — e la terza coordinata {
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— 503 — Viceversa : ogni equazi
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— 505 — 287. Condizione di para
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(!') — 507 — 289. Equazioni di
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— 509 — se invece sta sopra xy^
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— 511 — Questa rappresenta un p
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— 513 — allora, od esiste un si
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
Page 727 and 728:
— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
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— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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