Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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sopra nominati, ad es. di {ABCD), si trovano per quelli i
valori :
{ABCD) — fe,
(ABDC) =
(ACBD) = 1 - k, (ACDB) =
(ADBC) = ^^^, (ADCB) =
Esercizi. — 1) Dati tre elementi di una forma di prima specie, costruire
in questa l'elemento che forma con quelli un doppio rapporto assegnato;
(mediante una operazione di proiezione o sezione si può ridursi al caso che
uno dei quattro elementi sia un punto improprio, e quindi il doppio rap-
porto diventi un rapporto semplice).
2) Se A, B, C . . . sono elementi di una forma di prima specie,
{ABCD)(ABDE) = {ABCE)
{ABCD){ABDE)... (ABHK) = (ABCK).
si ha
3) Se i lati di un triangolo ABC vengono segati da due trasversali
nelle terne di punti A' B'C\ A"B"C", si ha
{BCA'A" ) {CAB' B") {ABC'C") = 1.
Questo teorema, che può dedursi dal teorema di Menelao, contiene
d' altronde quest' ultimo come caso particolare. Analoga estensione può rice-
vere il teorema di Ceva.
4) Dalla relazione (ab ed) -\- (acbd) = 1 che lega due doppi rap-
porti formati con quattro rette di un fascio, dedurre l'identità
sen ah sen ed -p sen ac sen db -j- sen ad sen he = 0,
analoga all'identità di Eulero per la punteggiata (n.° 26, es. 1)). Da quell'i-
dentità si possono ricavare (ad es. supponendo ed = --^ ,...) le note formole
trigonometriche che danno sen (a dz /?), cos (a + /?).
5) Conducendo pel centro del fascio ab ed un cerchio il quale seghi
quelle rette in A, i?, C, D, la identità precedente si traduce nella relazione
AB CD -\- AC DB + AD BC =
tra le sei corde (prese con segni convenienti) che congiungono i quatfi'O
punti due a due. Essa esprime il teorema di Tolomeo sul quadrangolo
iscritto in un cerchio.
6) Dato un triangolo ABC ed un punto D che non stia su nessun
lato, le rette a', ò', e' proiettanti! vertici da 7), formano con una trasver-
sale qualsiasi d condotta per D un doppio rapporto (a'b'c'd) uguale a
quello {A' B'C D) formato dalle intersezioni della trasversale coi lati del
triangolo e dal punto D.
7) Dedurre dall' es. 6) la risoluzione del seguente problema e del duale:
date tre rette a, b, e non concorrenti ed un punto D che non appartenga
a nessuna di quelle, condurre per D una trasversale che seghi le rette in
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