Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 464 — nità equivalenti si dividono in due famij^lie : affinità dirette^ che subordinano sulla parabola proiettività paraboliche aventi l'unico punto unito ali" infinito, e affinità inverse, che sono simmetrie oblique rispetto ai singoli diametri della parabola; (cfr. es. 11)). III. — 19) Data una conica a centro, esistono infinite coniche omotetiche e concentriche con quella; esse appartengono ad un fascio-schiera (n.° 231, Oss.) di coniche bitangenti nei punti all'infinito (^). Supposta nota l'equazione normale della prima conica, come si scrivono le equazioni delle coniche omotetiche e concentriche ? 20) Un fascio-schiera, che ha proprietà analoghe, è pure costituito dalle parabole aventi un contatto quadripunto (n.° 226) nel loro punto comune all'infinito. Queste parabole hanno lo stesso asse, e sono uguali tra loro ; due di esse, prese ad arbitrio, possono sovrapporsi mediante una traslazione parallela all'asse comune. 21) Una trasversale qualsiasi intercetta entro le coniche degli es. 19) e 20) corde aventi lo stesso punto medio ; in altre parole : se una retta sega una di quelle coniche in M, M', e una seconda conica in N, N', si ha MN = -- M'N'; e se la retta tocca la seconda conica, il punto di contatto è medio per la corda MM'. 22) I poli di una retta rispetto alle infinite coniche degli es. 19) e 20) stanno sopra una retta, che è il diameti'O coniugato colla direzione della retta primitiva rispetto a ciascuna di quelle curve (n,° 231, es. 41)). Che cosa formano le polari di un punto rispetto alle coniche stesse ? 23) Ogni affinità che trasformi una conica a centro in sé stessa, trasforma pure in sé ogni conica omotetica e concentrica con quella; (si confrontino infatti i diametri sovrapposti delle due coniche ; oppure analiticamente). Segue che l'area del segmento compreso fra una conica K ed una tangente ad una seconda conica K', omotetica, concentrica ed interna alla prima, non varia al variare della tangente. Le stesse proprietà sussistono per le parabole aventi un contatto quadripunto all' infinito, purché dopo la parola affinità si aggiunga equivalente (es. 18) ). 24) Date due coniche omotetiche e concentriche K, K' (o due parabole aventi un contatto quadripunto all'infinito), di cui una, ad es. la prima, conterrà nel suo interno la seconda, e scelto su K un punto Pj qualsiasi, si conduca da Pi una tangente a iC', la quale incontri nuovamente Kin P2; ])oi da P2 si conduca la ulteriore tangente P2 P3 a K',e così si prosegua. Si otterrà una spezzata PiP^Fs. . . iscritta in K e circoscritta & K' Vale . ora la proprietà, che la tangente a K in un vertice Pi della spezzata é (1) Se la conica primitiva è una iperbole {sy = fc). il fascio-schiera contiene, oltre alle iperboli omotetiche con quella {xy = le', dove *:' è un numero arbitrario che ha il segno (U t), una seconda famiglia di iperboli {xy = —*:') omotetiche tra loro, ma non eolle precedenti; le iperboli delle due famiglie sono, per dir cosi, separate dagli asintoti. Varie proprietà contenute negli es. 20) e seguenti si estendono anche alle curve di questa seconda famiglia.
— 465 — parallela alla retta P, - i Pi + i congiungente i due vertici contigui, ed anche alle rette Pi — ìPì + 2, ecc. 25) Nella ipotesi die K e K' siano ellissi, può accadere (in relazione a valori particolari del rapporto di omotetia) che la spezzata si chiuda, venendo ad es. a coincidere il vertice P« col punto di partenza Pi. In tal caso, comunque si scelga il punto Pi su iti, la spezzata n.latera avente ivi r origine si chiude, ed esistono infiniti n.goni semplici iscritti nella conica K e circoscritti alla conica K' (cfr. n." 215, es. 29)). « Tutti questi n.goni hanno la stessa area » ; e, supposto che si tratti di n.goni convessi, si dimostra che queir area è massima fra le aree degli n.goni iscritti in K, e minima fra le aree degli n.goni circoscritti a K'. I detti n.goni hanno tutti come baricentro il centro delle ellissi Ji, K' ; (per n = 3 si riducono a quei triangoli considerati nell'es. 12) del n.° 238). 26) Le ultimi proposizioni possono facilmente dedursi dalla seguente : una aiìinità che trasformi una ellisse K in un cerchio Kq, trasforma le ellissi omotetiche e concentriche a K in cerchi concentrici a Kq\ e muta quindi i poligoni suddetti in poligoni regolari iscritti in Jiq. 80
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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stesso piano n. Fra le altre rette
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 511 — Questa rappresenta un p
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— 513 — allora, od esiste un si
Page 533 and 534:
— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
Page 535 and 536:
— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
Page 543 and 544:
— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
Page 547 and 548:
— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
Page 553 and 554:
— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558:
— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564:
— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
Page 645 and 646:
— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
Page 657 and 658:
— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
Page 667 and 668:
— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
Page 727 and 728:
— 709 — come risulta dall' Oss.
Page 729 and 730:
— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
Page 741:
— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
Page 748 and 749:
— 730 — 35) Condizioni, perchè
Page 751 and 752:
INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
Page 753 and 754:
— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
show all

Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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