Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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allora, od esiste un sistema di valori {x, y, z) soddisfacente tre,
e quindi tutte quattro le equazioni (1), ed i quattro piani hanno
un punto proprio comune; oppure un tal sistema non esiste,
ed i quattro piani sono paralleli ad una stessa retta. Dunque :
condizione necessaria e sufficiente^ affinchè quattro piani abbiano
un punto {proprio o improprio) comune^ è che sia nullo il deter-
minante formato coi coefficienti e termini noti delle relative equazioni.
In tale ipotesi, una delle equazioni (1) può scriversi come
combinazione lineare delle rimanenti (n.*' 291).
La (2) esprime pure la condizione, perchè si seghino due
rette rappresentate, la prima da due delle equazioni (1), la se-
conda dalle due rimanenti. Se le rette sono date mediante
equazioni ridotte
r) X =z Iz -\- p, y := mz -f- ?,
r') X = l'z -}- p', y =z m'z -f q\
per trovare la detta condizione conviene eliminare x tra le
equazioni deUa prima colonna, y tra le equazioni della seconda
colonna, e z tra le equazioni risultanti:
{l —l') z -{- p — p' =z 0, (m — m') z -}- q — q' =1 0]
si trova in fine
(l — r) (q — q') — (m — m') (p — p') = 0,
che è la condizione affinchè si seghino le rette r, r'.
Se le due rette sono rappresentate invece mediante equa-
zioni del tipo
x — x^ __ y — y^ z — zx
l\ m\ ni
X — X2 y — y2 z — Z2
I2 ^s
per esprimere la condizione di incontro, conviene scegliere due
punti (xi, yi, 0i), (xi -f- ^1^1, ?/i -f ^1^1, z, -f Q,n,) della
prima retta, e due punti (x^, y^, Zo), (x^ + ^2^2, ^2 + Q^m^,
^2 -\- («2^2) della seconda, ed imporre ai quattro punti la con-
dizione di trovarsi in un piano {n° 283). Con facili trasfor-
mazioni si può presentare quella condizione cosi:
Xi — X2 yi — 2/2 Zi — Z2
11 mi ni
12 W2 M2
W2
7
= 0.