Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 208 — Questa definizione si traduce subito nell'enunciato: Condizione necessaria e sufficiente affinchè il punto (x, y, z) stia sulla retta (u, v, w), è che si verifichi la relazione (1). (In coordinate non omogenee, X, Y di punti, U, V di rette, la (1) diviene (!') Z7X + FF + 1 = 0). Ora la (1) contiene simmetricamente le coordinate di un punto P{x,y,z) e di una retta p{u, v, w), e dà luogo a due interpretazioni diverse, secondo che si fanno variare le une o le altre coordinate. 1) Se attribuiamo valori costanti ad u, v, w, e teniamo come sostegno di una punteggiata. quindi fissa la retta p, ma lasciamo variare a?, y, z, ad ogni terna di valori (a?, y, z) soddisfacenti alla (1) corrisponde un punto P della retta p ; in tale ipotesi, la ( 1 ) rappresenta la retta p{u^ v^ w), è la equazione, in coordinate di punti, della retta stessa, la quale viene riguardata 2) Se invece attribuiamo valori costanti ad x, y, 0, tenendo fisso il punto P, ma lasciamo variare m, v, w, ad ogni terna di valori (u, v, w) soddisfacenti alla (1), corrisponde una retta jp passante per il punto P; questa volta, dunque, la (1) ci rappresenta il fascio di rette che ha per centro il punto P(a:, y, 0), è (come si suol dire) la equazione, in coordinate di rette, del punto P, riguardato come centro di un fascio. Riassumendo : Quando i punti si determinano mediante coordinate omogenee X, y, z, le rette vengono rappresentate da equazioni lineari ed omogenee in X, y, z ; quando invece le rette si determinano mediante coordinate omogenee u, v, w, i punti vengono rappresentati da equazioni lineari ed omogenee in u, v, w. 129. Problemi fondamentali su punti e rette in coordinate omogenee. — L'analogia che fin da ora si riscontra fra le coordinate omogenee di punto e di retta, ci si presenterà an- che più spiccata trattando in coordinate omogenee i problemi
— 209 — fondamentali sulla mutua posizione di punti e rette, problemi che già in gran parte abbiamo risolto mediante coordinate non omogenee di punti. a) Se un punto muoven- a') Se una retta muoven- dosi descrive una punteggiata 2>, le coordinate variabili {x, y, z) del punto soddisfano ad una equazione lineare ed omogenea^, lì) ax -\- hy -\- cz =:^ 0, equazione della retta p (che ha per coordinate omogenee a, b, e). ^) Si abbia una seconda equazione lineare ed omogenea in X, y, z, p') a'x + Vy -f c'z — 0, la quale rappresenti una seconda retta p'{a', b', e'). Determinare analiticamente il punto d'incontro delle rette p,p', vuol dire cercare una terna di valori, non tutti nulli, x^ y/, z (coordinate del punto pp '), che verifichino le due equazioni lineari ed omogenee p),p'). dosi descrive un fascio di rette di centro P, le coordinate variabili (u,v,w) della retta soddisfano ad una equazione lineare ed omogenea, P) au -]- bv -\- cw ^= 0, equazione del punto P (che ha per coordinate omogenee a, b, e). ^') Si abbia una seconda equazione lineare ed omogenea in u, Vj w, P') a'u + b'v -f c'w = 0, la quale rappresenti un secondo punto P'(a', 6', e'). Determinare analiticamente la retta congiungente i due punti P, P' , vuol dire cercare una terna di valori non tutti nulli, w, r, w (coordinate della retta PP'), che verifichinolo due equazioni lineari ed omogenee P), P ' ) Ora questi valori sono uguali, o proporzionali, ai tre deter minanti b b' estratti dalla matrice formata coi coefficienti delle due equazioni (^). Un caso eccezionale si presenta soltanto, quando i tre determinanti si annullano insieme; ma allora una delle due equa- (^) I rapporti dei primi due determinanti al terzo, danno, nel problema di sinistra, le coordinate cartesiane X, Y del punto di incontro delle due rette aX -\- hY -\- e = 0, a' X + ò' F + e' =0 (n.° 104). La condizione di parallelismo è espressa dall' annullarsi del terzo determinante (n." 105). b b' 14
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— espili ampia che chiameremo A^]
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dove si è posto per brevità — 7
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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e fatto z - 263 —
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 376 — gente ad una iperbole c
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- e\c -j- Q cos f) = —
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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