Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 162 — allineamento, anche quando uno dei denominatori delle (2) è nullo; o sotto la forma X -XI y - yi\ ^ XI — X2 yi — y-i \ o sotto l'altra più usata X y 1 (^) a?i yi 1 — 0. X2 y% 1 La condizione perchè tre punti siano allineati, è espressa dalV annullarsi del determinante formato colle coordiniate dei punti stessi e colle unità. 101. Equazione di una retta. — Se si suppongono fissi i punti Pi{xi, yi), F2{x2, y-i) e variabile il punto P(a;, y\ la relazione (2), o (2'), o (3), diviene una equazione nelle variabili X, y, equazione che è soddisfatta ogniqualvolta x, y sono coordinate di un punto della retta P1P2, e solo allora. Perciò si suol dire che la equazione (2), o (2'), o (3), nelle variabili x, y, rappresenta analiticamente la retta congiungente i due punti (xi, yx\ {x^, 2/2), è la equazione della retta stessa; mentre la retta rappresenta graficamente quella equazione. La nostra equazione è lineare rispetto alle variabili x, y, e (sviluppata ed ordinata) ha la forma (4) «a; -]- 6?/ + e = 0, dove a, 6, e sono tre costanti indipendenti dalla posizione del punto F{x, y). Ora si può chiedere se ogni equazione del tipo (4) rappresenti effettivamente una retta, vale a dire se gli infiniti punti le cui coordinate verificano la (4), siano tutti àUmeati. Basterà esaminare se tre, comunque scelti, tra i detti punti appartengano ad una retta. Siano dunque {xx, yi), (x2, 2/2), (x3, 2/3) tre punti tali che risulti axx -f bxi -\- e = 0, ax2 -i- bx2 -{- e = 0, ax3 ~\- hys -{- e ^= 0. Queste equazioni, lineari ed omogenee rispetto ad a, b, e, coesistono per valori non tutti nulli delle quantità stesse ; sarà quindi verificata la condizione XI yi 1 X2 y2 1 ^= 0, xs ys 1 '
— 163 — la quale esprime che i tre punti sono allineati. Concludendo: Se un punto si muove descrivendo una retta, le sue coordinate verificano una equazione lineare a due variabili; e viceversa. 102. Posizioni particolari di una retta rispetto agli assi. — La posizione della retta (1) ax -{- by -{- e = dipende dai valori dei tre coefficenti a, b, e, o meglio dai rapporti di due di essi al terzo. Alcuni di quei coefficienti possono anche esser nulli; non tutti però, e nemmeno i due primi insieme. . a) Se ò = e = 0, « 4= 0, l'equazione diviene ax = ossia ^ = 0, e rappresenta Vasse y, i cui punti hanno nulla l'ascissa. Si- milmente si conclude che l'equazione y = rappresenta Vasse x. b) Se b = 0, ma a =t= 0, e 4= 0, la (1) diviene ax -{- e = 0, ossia x ^ — - , e rappresenta il luogo dei punti che hanno per ascissa — '^ cioè una retta parallela all' asse delle y, uscente da quel punto A dell'asse x, che ha l'a- scissa — -- a Similmente vediamo che by ^ e = è l'equazione di una retta parallela all' asse x. Dunque : ^e nell'equazione di una retta manca una delle coordinate, la retta è parallela al corrispondente asse. la forma e) Se si suppone nulla soltanto e, l'equazione (1) assume ax -{- by =:: 0, . e la retta corrispondente passa per l'origine, poiché i valori X ^ 0, y = soddisfanno l'equazione proposta. ^(-S oj >
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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stesso piano n. Fra le altre rette
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dove si è posto per brevità — 7
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e fatto z - 263 —
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 355 — e si noti che, quando M
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 415 — dove p è una costante
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 453 — 38) Da questo teorema e
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— 457 — il piano di K' intorno
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
Page 553 and 554:
— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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