Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 344 — 203. Equazione tangenziale di una conica. — La teoria della correlazione polare ci insegna (n.° 188) che una polarità piana possiede una curva fondamentale del secondo ordine, luogo dei punti che appartengano alle proprie polari, ed un inviluppo fondamentale di seconda classe, formato dalle rette che contengono i propri poli. Quanto alla curva, se confrontiamo l'equazione (4) del n.° 188 colla (1) del n.° 197, vediamo che la curva fondamentale della nostra polarità (6) è precisamente la conica f{x, y, z) = 0, da cui siamo partiti] risultato prevedi- bile, poiché ogni punto della conica appartiene alla propria polare (tangente ivi alla curva). Rimane ora da esaminare come sia formato l'inviluppo fondamentale, la cui equazione in coordinate di rette fu scritto al n." 188, (4'), sotto la forma (9) A^,u--\-A,,v-^-^A,,w-^-]-2A,,uv-{-2A,,uw-{-2A,,vw = 0. Notiamo perciò che, se una retta p(u, v,w) appartiene al detto inviluppo, essa, per definizione, contiene il proprio polo P, il quale (giacendo sulla propria polare) starà sulla conica (1); ma allora p è tangente alla conica in P; e viceversa. Dunque la (9) rappresenta l'inviluppo delle tangenti alla nostra conica (1); donde il risultato fondamentale: Le tangenti ad una conica (di discriminante non nullo) formano un inviluppo di seconda classe. L'equazione (9) di questo (o, come si suol dire, l'equazione tangenziale, o pliickeriana, della conica) si ottiene dall'equazione puntuale (1) della conica, sostituendo alle coordinate di punti, le coordinate di rette, ed ai coefficienti, i rispettivi complementi algebrici estratti dal discriminante (^). Q) Un'altra forma, sotto cui si suole scrivere l'equazione tangenziale della conica, è la seguente, che si riconosce, mediante sviluppo, non diffe- rire dalla (9) :
— 345 — 304. Metodo delle polari reciproche. — Riassumendo gli ultimi risultati, possiamo dire: Una conica {di discriminante non nullo) determina nel suo piano una correlazione polare, la quale muta ogni punto del piano nella' propria polare, ed ogni retta nel proprio polo; in particolare^ ogni punto della conica corrisponde alla propria tangente, e viceversa. Questo teorema completa, invertendolo, il teorema del n.° 188, secondo il quale una polarità piana definisce una conica (fondamentale). Ora vediamo che i due enti conica e polarità piana sono cosi strettamente collegati, che, dato l'uno, rimane individuato l'altro. Ciò spiega come lo Staudt abbia potuto definire e studiare le coniche in base alla teoria della polarità. La polarità determinata da una conica trasforma una figura composta di m punti ed n rette, in una figura (polare della prima rispetto alla curva) composta di m rette ed n punti; ad es., un poligono iscritto nella conica (avente cioè i suoi vertici sulla curva) ha come figura polare il moltilatero circoscritto, formato dalle tangenti nei vertici di quello. Due figure mutuamente polari hanno proprietà duali. Cosi, da ogni proprietà grafica (proiettiva) relativa ai punti di una conica si deduce, per dua- lità, una proprietà grafica relativa alle tangenti della curva. Questa considerazione può applicarsi a tutte le proposizioni sulle coniche viste sinora. Ad es., la proprietà: « una retta ha in comune con una conica due punti (reali e distinti, o reali e coincidenti o immaginari) », tradotta mediante la polarità, ci dice che « per un punto si possono condurre ad una conica due tangenti (reali e distinte, o reali e coincidenti, o immagi- narie)», proposizione che avevamo già ottenuto per altra via (n.° 199). Qui però vediamo inoltre che la figura costituita da una retta p ' e dalle sue intersezioni U, V colla conica, si muta, per polarità, nella figura costituita da un punto P', polo di p', e dalle rette u, v passanti per P ' e tangenti alla conica in U e V (v. fig. di pag. 342). Donde segue: Le tangenti ad una conica uscenti da un punto toccano la conica nelle intersezioni di questa colla polare del punto ; ( ciò che analiticamente risultava dall'equazione (4) del n.'^ 199, interpretata nel n.^ 201). Supposta la conica reale, vediamo di qua
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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dove si è posto per brevità — 7
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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e fatto z - 263 —
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
Page 543 and 544:
— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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