Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 202 — il concetto, in guisa da poter individuare anche i punti impropri (n.*^ 98). Noi riusciremo allo scopo rappresentando i punti del piano, non più mediante coppie, bensì mediante terne di numeri reali (x, y, z), dei quali però interessano soltanto i mutui rapporti. Tracciamo a tal fine i due assi cartesiani x^ y\ q supponiamo anzitutto che di tre numeri dati x^ y, z^ il terzo, 2, sia diverso da zero. Allora sono pienamente determinati i due rapporti (1) ^ = v' ^ = "!-' z z ed è quindi individuato quel punto lìroprìo P che ha l' a- scissa X e r ordinata Y (^). Viceversa, dato un punto proprio P di coordinate cartesiane X, y, si possono sempre sce- gliere tre numeri x, y^ z (2; =+= 0) tali che sussistano le (1). Anzi questa scelta può farsi in in- finiti modi; giacche si può as- sumere la terna X = X, y = Y, 2 = 1, od ogni altra terna la quale si componga di numeri proporzionali a questi. Cerchiamo ora di far corrispondere ad una terna di numeri, di cui il terzo numero sia nullo, un punto improprio del piano. Attribuiamo perciò ad x, y due valori arbitrari, purché non entrambi nulli, ed a 2^ un valore variabile, e per ora non nullo. Avremo in corrispondenza un punto proprio P di coordinate cartesiane X, Y, date dalle (1), il quale, al variare di z^ si muove descrivendo una retta uscente dall' origine, la cui equazione è (2) ^ — J^^ (X, F variabili) X y (^j Nei numeri seguenti di questo Gap. indicheremo con X, Y le coordinate cartesiane ordinarie (e, più tardi, le proiettive non omogenee), riservando le lettere a;, y, z alle coordinate omogenee. Questa convenzione verrà abbandonata nel seguito, quando sia impossibile l'equivoco.
o meglio — 203 — (2') Xy — Yx = 0, per comprendere anche il caso che la x^ o la y, sia nulla. Ora, se z tende a zero, senza che mutino x q^l y^ì valori X, Y dati dallo (1) (od uno almeno di essi) vanno crescendo senza limite, ed il punto P va allontanandosi all'infinito lungo la retta (2). Siamo condotti perciò a far corrispondere alla terna di numeri (a?, ?/, 0) il punto air infinito della retta (2). Viceversa, dato un punto improprio Pcc, lo si congiunga all'origine, e si scriva la equazione di questa retta sotto la forma (2), o (2'); saranno allora a:, y due numeri noti, ai quali potrebbero pure sosti- tuirsi due numeri proporzionali. I due numeri x^ y (o due numeri proporzionali), insieme a 0, danno una torna (a?, y, 0), che faremo corrispondere al punto P^). Riassumendo: Segnati nel piano due assi cartesiani x, y, ad ogni gruppo di tre numeri x, y, z, non tutti nulli, corrisponde un unico punto P del piano; ^e z =»= 0, P è proprio ed ha per coordinate cartesiane -- ,- — , se invece z = 0, P sta all'infinito sulla retta X Y '^ • - = - - (X, y coordinate variabili). Viceversa, un punto P corrisponde ad infinite terne di numeri; però da una di queste si ottengono tutte le altre, moltiplicando i tre numeri della terna per uno stesso fattore non nullo. Alla terna (0, 0, 0) non corrisponde alcun punto del piano. Tre numeri x, y, z, ai quali corrisponda un punto P nel modo detto, si chiamano coordinate (cartesiane) omogenee di P; la posizione di P dipende solo dai mutui rapporti delle coordinate omogenee. Dalla definizione seguono subito alcune osservazioni. Vi sono tre punti del piano, punti fondamentali del sistema, o vertici del triangolo fondamentale, che hanno nulle due coordinate omogenee, e la terza diversa da zero, ad es. uguale ad 1 (come si potrcà sempre supporre); sono V origine (0, 0, 1), il punto aW infinito dell'asse x (1, 0, 0), e il punto aU infinito delVasse y (0, 1, 0). I punti per cui una delle tre coordinate è nulla, costituiscono tre rette fondamentali, lati del triangolo fondamentale; precisamente un punto (0, y, z) sta ?,vX['assey, un punto (x, 0, z) ^\AV asse x, ed un punto {x, y, 0) sulla
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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e fatto z - 263 —
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 355 — e si noti che, quando M
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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— 443 — è indipendente dalla c
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 449 — rette formanti fascio c
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I — 451 — dei segmenti cosi ott
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— 453 — 38) Da questo teorema e
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— 457 — il piano di K' intorno
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
Page 543 and 544:
— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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