Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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.— 226 Capitolo IV. Rappresentazione analitica delle curve piane. Inviluppi di rette. 137. Equazione di una curva piana. — Il problema fonda- mentale della Geometria analitica consiste nel rappresentare i luoghi geometrici (curve, superfìcie . . .) mediante equazioni a più variabili, e nel dedurre le proprietà di quelli dalle proprietà delle equazioni corrispondenti. Noi faremo vedere anzitutto come ad una equazione fra due variabili aj, y si possa associare una linea piana. Cominciamo a supporre che la equazione sia risolta rispetto ad una delle variabili, ed abbia il tipo (1) y = f{x\ ossia y — f{x) — 0, dove f indica una qualsiasi funzione. Fissato un sistema qualun- que di coordinate (non omogenee), per es. cartesiane, consideriamo quei punti le cui coordinate soddisfano alla equazione (1). Per costruirne uno, si attribuirà ad x un particolare valore a, e si determinerà il valore corrispondente di y, che si suole in- dicare con /"(a); poi si segnerà quel punto P che ha l'ascissa a, e l'ordinata f{a). Attribuendo ad X un nuovo valore «i, e de- terminando y := f(ai), si avrà un nuovo punto Pi ; e cosi si troveranno quanti altri punti si vogliano. Tutti i punti che in tal guisa possono costruirsi, formano un luogo geometrico, il luogo di quei punti che colle loro coordinate soddisfano all'equazione (1); la (1) è V equazione del nominato luogo, rappresenta analitica- mente il luogo, (mentre il luogo rappresenta geometricamente la equazione (1) ). Qui si badi che gli infiniti punti del luogo possono formare una o più linee (nel senso intuitivo della parola linea)] ma possono anche, in altri casi, giacere sparsi nel piano, in guisa
— 227 — che non riesca possibile di ordinarli lungo curve C^). Affinchè il primo caso si presenti, è necessario che si verifichino alcune condizioni, delle quali basterà qui ricordar la più semplice ed evidente. Occorre dunque che, mentre il punto A varia con continuità sull'asse a?, o almeno in un certo tratto di questo, il corrispondente valore dell'ordinata AP vari, esso pure, con continuità; in termini precisi: la y deve esser funzione conti- nua della X, per tutti i valori di x compresi fra certi limiti. D'al- tronde questa e le analoghe condizioni saranno sempre soddi- sfatte in tutti i casi che avremo da considerare. Potremo dire adunque, in quei casi, che la (1) rappresenta una curva, è la equazione di una curva. Viceversa, segnata nel piano degli assi cartesiani x, y una curva arbitraria (convenientemente limitata), rimane stabilita una dipendenza tra x ed y, per la quale ad ogni valore di x compreso in un certo intervallo, corrisponde un valore di y, ordinata del punto della curva avente quell'ascissa x] rimane dunque definita y come funzione di ,r. La relazione y = f{x), a cui cosi si arriva, è la equazione della curva. L'equazione (1) a due variabili è una forma particolare della equazione (2) f{x, y) = 0, dove, questa volta, f è simbolo di funzione di due variabili. Anche la (2) rappresenta un luogo geometrico, il luogo di quei punti che con le loro coordinate x, y verificano V equazione stessa. Volendo costruire questo luogo per punti, nella ipotesi ad es. che x, y siano coordinate cartesiane ordina- rie, attribuiremo ad x un primo valore arbitrario x z=. a\ con ciò la (2) diviene una equazione ad Q-) Ciò accadrebbe, ad es.. se la funzione fosse definita dalle condizioni seguenti: per ogni valore razionale di x, è ?/ = 0; per ogni valore irrazionale ài x, e y = 1.
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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dove si è posto per brevità — 7
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 355 — e si noti che, quando M
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- e\c -j- Q cos f) = —
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
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— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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