Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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P', mentre il coefficiente di 2A; può scriversi per disteso sotto
una delle forme seguenti (cfr. n.^ 197) :
/gw -j- (a.nX + «222/ -f «23^; + a.j)y'
-j- («SliC + «32?/ -f «332 + asj)z'
+ («41.^ + «42?/ + «43^ + «440^'
^ («naj'H \-aJ')x-{-(a^ix'-{ 1-«24^')2/
-|- («31^;'-] 1-«34^')^+(«"^'-+ \-aJ')t.
Sul polinomio stesso si osserverà :
1) che esso è bilineare e simmetrico, rispetto ai due gruppi
di valori (x, y,
z, t), (x', y', z', t')\
2) che, ordinato ad es. secondo x\ y\
z', t\ i coefficienti
rispettivi sono le semiderivate parziali di /"(a?, y^ 2, t) rispetto
ad X, y, z, t ;
3) che, posto x' r= X, y' ^= y, z' ^::z z^ f = ^, il polinomio
(3) si riduce al polinomio (1).
La (2) è una equazione quadratica in k. Se k^^ k^ sono le
radici, le intersezioni Qi, Q^ della quadrica colla retta PP'
hanno le coordinate
Q,{k,x -{- x\ ,k,t -^ t'),
Q^{k^x -^ x',
• • •
, k^t Ar t').
Le intersezioni sono due^ come sapevamo. Si ha indeter-
minazione, vale a dire la retta PP' appartiene alla quadrica,
quando coesistono le relazioni
f{x, y, z, t) = 0, f[l\^ p^ l)^ \) = 0, f{x\ y\ .', V) = 0,
di cui la prima e terza esprimono che i punti P q P' stanno,
come è naturale, sulla superficie.
348. Equazione del piano tangente. — Se il punto P' sta
sulla quadrica, nella (2) manca il termine noto f{x\ y\ z' , t')\
una delle radici, ad es. A:,, si annulla, ed il punto Qi coincide
con P'. La seconda intersezione Q^ della retta PP' colla quadrica
viene essa pure a coincidere con P', cioè la retta P'P