Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 542 — Per il passaggio inverso servono le formole Q = V^M^'T^', cosi^ = - \ ^ tgg> = y-- Esercizi. I — 1) Le formole per il passaggio da un sistema ortogonale ad un nuovo sistema ortogonale divengono a) X = X, y = Y, z = Z -^ e, se l'antico triedro xyz ha subito una traslazione del segmento e lungo l'asse z; b) X = X cos q> — Y sen (p, y =z X sen (p -}- Y cos (p, z = Z, se l'antico triedro ha subito una rotazione del diedro gp intorno all'asse z; e) X =:z X COS cp — Y sen gp, y = X sen (p -\- Y cos gp, z := Z -{- e, se lo spostamento del triedro risulta da una rotazione intomo a z, seguita da una traslazione lungo z {movimento elicoidale intorno a z). 2) Si dimostri che le formole X = a^X + «2^^ + «3-^» z = Y,X i- y^Y-i- y^Z definiscono una trasformazione ortogonale di coordinate coll'origine fìssa, ogniqualvolta i coefficienti verifichino le sei relazioni â.-2 = 1, ^^,2 = 1^ 2y.2 — 1^ 2 îyi — 0, 2 y itti = 0, 2'a,/Ji = 0. Esistono infatti allora tre rette X, Y, Z mutuamente ortogonali, tali che cosa;X = aj, ecc. Da quelle sei relazioni seguono le altre indicate al n.° 308 (II Caso), e segue pure che, nel determinate A della sostituzione, il complemento algebrico di ciascun elemento uguaglia 1' elemento stesso mol- tiplicato per 4 = ih 1. 3) In una trasformazione ortogonale di coordinate coll'origine fissa rimangono invariate le espressioni seguenti, formate colle coordinate di uno xyz più punti: a;2 -[- 2/^ ~f" ^^ì ^î 4~ i/l/i ~{~ ^s'ii ed il xi yi Zi determinante formato colle coordinate di tre punti. (La dimostrazione può darsi, sia eseguendo la verificazione diretta, sia badando al significato geo- metrico di quelle espressioni). 4) In una trasformazione ortogonale di coordinate, ove cambi l'origine, restano invariate le espressioni, che si deducono da quelle dell' es. precedente, sostituendo alle coordinate di uno o più punti le componenti di uno o più segmenti. 5) Siano xyz, XYZ due terne congruenti di assi ortogonali coUa stessa origine 0, ed. x^ sia la retta intersezione dei piani xy, XY, sulla quale si fissi arbitrariamente il verso positivo, ad es. in guisa che sia xxi < 71. Sì può portare la prima terna a coincidere colla seconda mediante le tre rotazioni seguenti, da eseguirsi in verso positivo (n." 279, nota): una rotazione intorno a z dell'angolo q> = xxi, mediante la quale il triedro xyz assume la posizione x^yiz; ima rotazione intorno a Xi dell' angolo
^ — 543 — d' = zZ, mediante la quale il triedro x^y^z assume la posizione Xip^Z (ciò è possibile perchè z e Z sono ambedue perpendicolari ad a;,); finalmente una rotazione intorno a Z dell'angolo tp = x^X, mediante la quale l'ultimo triedro viene a coincidere con XYZ (ciò è possibile perchè x^ ed X sono perpendicolari a Z). Indicando con ix,y,z) (ccj, t/,, z), (x^, j/g, Z), {X, Y, Z) le coordinate di uno stesso punto riferito successivamente alle teme di assi nominati, valgono le formole (es. 1)) X = xi cos(p - tji sencp, y = x^ senqo + y^ cosrp, Vi — 2/2 cosi* — Z seni*, z = y^ seni* + Z cos-tì-, xi = X cosV — Y sernp, y2 = X semp -f Y cos^.' Eliminando a^j, y^, y^ tra queste, si ottengono infine le formole seguenti, dovute ad Eulero : x = X (cos cpcosrp — sen (p sen Û cos d) — Y (cos y sen V + sen cp cos ^p sen i*) -(- Z sen qp sen i* y — X (sen (jp cos ^ + cos cp sen ^ cos d) — Y (sen gp sen V — cos ?> cos V cosi*) — Z cos qo sen ^ 2 = X sen V sen 1* 4- Y cos t/< sen-^ -f- Z cos i*. Queste formole hanno il vantaggio di contenere esattamente il numero dei parametri indipendenti {tre: gp, i* e V, detti angoli di Eulero), da cui dipende la posizione del nuovo triedro rispetto all'antico. 6) Siano xyz, XYZ due terne congruenti di assi ortogonali, e sia P un punto qualsiasi avente nei due sistemi le coordinate ix,y,z), (X Y Z)un movimento, che porti il primo triedro a coincidere col secondo, porta il punto P in un nuovo punto P' avente, rispetto ai nuovi assi, le coordi- dinate {x, y, z). Segue che le formole per la trasformazione delle coordinate ortogonali, x = «1 X + ag Y + ag Z + a, ecc., quando il determinante A = [«i/ô/gT vale + 1, possono intei-pretarsi come relazioni fra la posizione iniziale P(X, Y, Z) e la posizione finale P'(x, t/, z) di uno stesso punto, riferito ad un unico sistema di assi X YZ. Le formole stesse definiscono dunque un movimento nello spazio, in quanto si tien conto solo della posizione iniziale e finale, facendo astrazione dalle posi- zioni intermedie. In pari:icolare, le formole a), 6), e) dell' es. 1) definiscono ordinatamente una traslazione parallela all'asse Z, una rotazione, o un movimento elicoidale intorno a questo asse; le formole (1) del n." 308 definiscono una traslazione rappresentata dal vettore, che ha le componenti (a, ò, e); le formole (2) del n.° 308 definiscono una rotazione intorno al punto fisso 0, ecc. 7) Se a; 2/^, X YZ sono due triedri trirettangoli congruenti colla stessa origine 0, i piani condotti per le bisettrici interne degli angoli ocX, y'Y, zZ, perpendicolarmente ai piani dei rispettivi angoli, passano per una stessa retta r, tale che rx = rX, ry = rY, 'rz = rZ. Facendo ruotare intorno ad r, di un angolo conveniente, il primo triedro, esso viene a sovrapporsi al secondo. Di qua, tenuto conto dell' es. precedente, si conclude che « la rotazione di un corpo intorno ad un punto può sempre esser sostituita
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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dove si è posto per brevità — 7
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— 85 — notiamo che il punto med
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 115 — u'. 1 punti M, 0, N si
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— 117 — 71. Elementi uniti di u
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— 121 — proiettività parabolic
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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— 199 — Ma per le (1) X = x' -^
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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l — 313 — 17) Due piani simili
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— 315 — tutti per uno stesso pu
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 319 — nate della retta p', ch
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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— 341 — l'equazione della tange
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 474 — In modo perfettamente a
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— 476 — comprenderà ora a prio
Page 492 and 493:
— 478 — punti dati, si possa co
Page 494 and 495:
— 480 — blema mostreremo tra po
Page 496 and 497:
— 482 — II. Sia data una riga a
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^ 484 — dove p, q possono riguard
Page 500 and 501:
— 486 — sarà noto a priori (ca
Page 502 and 503:
— 488 — angoli particolari che
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— 490 — 278. Il problema della
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— 492 — 6) Retta generica del f
Page 508 and 509:
— 494 — 21) Condizioni perchè
Page 511 and 512: G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
Page 515 and 516: 497 — Parte Quarta. Geometria ana
Page 517 and 518: — 499 — e la terza coordinata {
Page 519 and 520: — 501 — Indicando i tre denomin
Page 521 and 522: — 503 — Viceversa : ogni equazi
Page 523 and 524: — 505 — 287. Condizione di para
Page 525 and 526: (!') — 507 — 289. Equazioni di
Page 527 and 528: — 509 — se invece sta sopra xy^
Page 529 and 530: — 511 — Questa rappresenta un p
Page 531 and 532: — 513 — allora, od esiste un si
Page 533 and 534: — 515 — punto (2, — 1, 1) e p
Page 535 and 536: — 517 — spezzate aventi gli ste
Page 537 and 538: — 519 — 297. Distanza dì due p
Page 539 and 540: e quindi , 'cosxr = — , — 521
Page 541 and 542: — 523 — Per calcolare il seno d
Page 543 and 544: — 525 — Ora questi risultati, e
Page 545 and 546: — 527 — Similmente si vede che
Page 547 and 548: — 629 — quarto vertice dalla fa
Page 549 and 550: — 531 — ordine uguagliato a zer
Page 551 and 552: — 533 — perpendicolare. (Es. nu
Page 553 and 554: — 535 — di geometria elementare
Page 555 and 556: — 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558: — 539 — Si osserverà che i nov
Page 559: — 541 — cartesiano^ le coordina
Page 563 and 564: — 545 — togliere, introducendo
Page 565 and 566: — 547 — genee, giova tuttavia t
Page 567 and 568: — 549 — piani P; riguardata sot
Page 569 and 570: — 551 — Si ha qui una giustific
Page 571 and 572: — 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
Page 573 and 574: — 555 — dove i k l m B una qual
Page 575 and 576: — 557 — Per costruire un punto
Page 577 and 578: — 559 — che si possa dedurre co
Page 579 and 580: — 561 — Il teorema si dimostra
Page 581 and 582: — 563 — come piano XY di un nuo
Page 583 and 584: — 565 — II. — 10) Trovare 1'
Page 585 and 586: — 667 — essere tutte nulle). Al
Page 587 and 588: — 569 — D' altra parte è spess
Page 589 and 590: X — a
Page 591 and 592: — 573 — Se il vertice coincide
Page 593 and 594: — ; 576 — equidistanti dal punt
Page 595 and 596: — 577 — essi (n.° 312). Tra gl
Page 597 and 598: — 579 — dello spazio mediante u
Page 599 and 600: — 581 — quel modo, pur di scegl
Page 601 and 602: -^ 583 — glianze (1). Si conclude
Page 603 and 604: — 585 — una posizione assunta d
Page 605 and 606: — 587 — uniti, ed i cui spigoli
Page 607 and 608: — 589 — piani corrispondenti, s
Page 609 and 610: — 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634:
— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
Page 645 and 646:
— 627 — zioni lineari fra i coe
Page 647 and 648:
— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
Page 657 and 658:
— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
Page 663 and 664:
— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
Page 667 and 668:
— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
Page 675 and 676:
— 657 — triangolo, insieme al c
Page 677 and 678:
— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
Page 687 and 688:
— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
Page 691 and 692:
— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
Page 699 and 700:
— 681 — mente che la quarta coo
Page 701 and 702:
questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
Page 707 and 708:
— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
Page 711 and 712:
Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
Page 721 and 722:
— 703 — perfide. Ora, se -ST è
Page 723 and 724:
— 705 — quattro fasci impropri
Page 725 and 726:
— 707 — centro dell'ellissoide.
Page 727 and 728:
— 709 — come risulta dall' Oss.
Page 729 and 730:
— 711 — sopra una stessa retta,
Page 731 and 732:
— 713 — cono dette direzioni as
Page 733 and 734:
— 715 — Ora sappiamo che un con
Page 735 and 736:
— 717 — una quadrica inviluppo
Page 737 and 738:
— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
Page 741:
— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
Page 751 and 752:
INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
Page 753 and 754:
— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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