Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 238 — intersezioni di curve corrispondenti nei due sistemi. Noi ci proponiamo di scrivere la equazione del luogo in coordinate x, y. Sia (5) F (x, y) = la equazione richiesta; esaminiamo quali relazioni passino fra la (5) e le (3), (4). Notiamo perciò che al nostro luogo appar- tiene ogni punto Pi (xi, yi), il quale sia comune a due curve corrispondenti dei sistemi (3), (4), ad es. alle due curve fi, goi, che si ottengono attribuendo al parametro variabile k un particolare valore ki : i f(x, y; ki) z= 0, ( 9p(x, y; A;i) = 0. Segue che, se due valori xi, y\ soddisfano a queste due equazioni, essi determinano un punto Pi del luogo, e quindi soddisfano certamente anche all' equazione (5). Si ha cosi la prima proprietà dell'equazione (5): I. Se tre numeri xi, yi, ki, sostituiti nelle (3) e (4) (al posto di X, y, k), verificano quelle equazioni^ allora i primi due xi, yi verificano l'equazione (5). Viceversa, se x\^ y\ verificano l'equazione (5), e quindi sono coordinate di un punto Pi del nostro luogo, allora, per la legge con cui questo è descritto, devono esistere due curve corrispondenti fi, (pi dei sistemi (3), (4) che passino per Pi; e in conseguenza deve esistere un valore ki di k tale, che xi, 2/1, ^1 verifichino tanto la (3), quanto la (4). Abbiamo così la seconda proprietà dell' equazione (5) : II. 8e due numeri xi^ yi verificano V equazione (5), deve esistere un terzo numero ki te/e, cìte xi, yi, ki verifichino insieme la (3) e la (4). Ora quando tre equazioni (3), (4), (6), le due prime a tre variabili x, y^ k^ l'ultima a due variabili a;, y^ si trovano legate tra loro dalle due condizioni I. e II. ora esposte^, si dice che la (5) è la risultante delle equazioni (3) e (4), dopo la elimi-
— 239 — nazione di A:; e la operazione colla quale si passa dalle equazioni (3) e (4) alla equazione (5), dicesi eliminazione di /r tra le equazioni (3), (4). Concludiamo adunque che: dati due sistemi di curve mediante due equazioni (in coordinate x, y) contenenti un parametro^ Vequazione (in x, y) del luogo delle intersezioni di curve dei due sistemi, corrispondenti ad uno stesso valore del parametro, si ottiene eliminando questo tra le equazioni date. La possibilità della eliminazione ed i procedimenti per eseguirla vengono studiati nei vari rami dell' Analisi. 147. Equazioni parametriche di ima curva. — Alle conside- razioni precedenti conviene spesso ricorrere, quando si deve scrivere l'equazione della curva descritta da un punto P (x, y), che si muove con data legge geometrica. Anziché cercare di- rettamente la relazione analitica che passa tra x, ,//, può riu- scir più facile di determinare due relazioni tra le coordinate variabili x, y del punto P ed una terza quantità variabile fc, legata colla figura; relazioni del tipo (3) fix, y; /.) = 0, (4) (p{x, y\ k) — 0, di cui conosciamo ormai la interpretazione geometrica. Vo- lendo ottenere l'equazione della curva in coordinate x, y, resta solo da eliminare il parametro k tra le (3) e (4). E in certi casi può anzi convenire di scrivere più relazioni tra x, y e più parametri k, Z . . . sempre ; 1' equazione del luogo si ot- terrà (come si vede mediante ragionamenti analoghi) eliminando tutti i parametri fra quelle relazioni. Ma talvolta si preferisce di rappresentare la curva mediante due equazioni contenenti le coordinate variabili x, y ed un parametro, anziché mediante una sola equazione in x, y. Di tal natura sono ad es. le equazioni parametriche di una curva (6) X = f(t\ y = 9.(0, esprimenti le coordinate x, y di un punto variabile in funzione di un parametro t. Ad ogni valore di t corrisponde allora un punto (x, y) della curva; e la equazione di questa in x, y si otterrebbe eliminando t fra le equazioni (6). Citiamo ad es. le equazioni ic = a^ -)- a', y -^i^ ht -\~ 6',
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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dove si è posto per brevità — 7
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 355 — e si noti che, quando M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 443 — è indipendente dalla c
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- e\c -j- Q cos f) = —
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I — 451 — dei segmenti cosi ott
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— 453 — 38) Da questo teorema e
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— 457 — il piano di K' intorno
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— 463 — 12) n prodotto di due a
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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— 490 — 278. Il problema della
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— 492 — 6) Retta generica del f
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— 494 — 21) Condizioni perchè
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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497 — Parte Quarta. Geometria ana
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— 499 — e la terza coordinata {
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(!') — 507 — 289. Equazioni di
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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