Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 178 — e facendo coincidere la 5 ordinatamente colle rette r, x^ y, otterremo ancora (/?) d = Xco'&xr -j- ycos T/r, (7) dcos,rx =z X -[- Fcosyx, (^) dcosry = Xcosxy -|- Y, Occupiamoci pel momento delle ultime tre, fra le quali possiamo eliminare, sia cos xr, cos yr^ sia le lunghezze d, X, Y. Per raggiungere il primo scopo, moltiplichiamo i due membri della (/?) per d, ed al posto di d cos xr e d cos yr scriviamo i loro valori dati dalle (7) e (ó); avremo 6^2 ^ X2 + r^ + 2XYcosxy, ossia, ricordando le espressioni di X, Y, (1) ^2 3^ (:c' -xy-^(y'-y)^-\-2(x'- x) [y' - y) cos xy. La formola (1) permette di calcolare la distanza di due punti P, P', dati mediante le loro coordinate. In assi ortogonali la (1) diviene (d'accordo col teorema di Pitagora) (1') d^ = {x' - xY + {y' - yY- il quadrato della distanza di due punti è espresso, in coordinate ortogonali, dalla somma dei quadrati delle differenze fra le coordinate omonime dei due punti. In particolare, la distanza del punto P dall'origine è data da OP = )/ ^^ -j- y^ 113. Relazioni angolari. — Eliminiamo ora d, X, Y fra le equazioni (/?), (y), (ò), le quali sono lineari ed omogenee rispetto a quelle quantità, certo non tutte nulle; dovrà essere dunque 1 cos xr cos yr (2) cos ra; 1 cosyx = 0, cos ry cos xy 1 ossia sen^xy = coserà? -]- cos^ry — 2 cos ra; cos ry cosxy. La (2) stabilisce un legame fra i coseni degli angoli che una retta r forma cogli assi coordinati, o (come diremo breve- mente) fra i coseni di direzione della retta. Nel caso di assi ortogonali quella relazione si riduce alla notissima coserà; -j- cos^ry = 1, ossia coserà; -f sen^rx = 1. Per calcolare ora il coseno dell'angolo formato da due rette; in funzione dei coseni di direzione di queste, operiamo .
— 179 — ' sulle relazioni (a), (y), (ó), come abbiamo operato or ora sulle (/^)j (/), (^)- Otterremo cos rs cos xs cos rx 1 cos ry cos xy la quale può anche scriversi cosi cos r* sen^ xy -\- finalmente (3) cos r^ = — sew^xy Se gli assi sono ortogonali, cos ys cos yx cosa:;^ 1 cos rx 1 cos ry cos xy cos rx cos ry cos ys cos yx . 1 = 0, cos 37.9 cos ys = 0, 1 cos i/x cos xy 1 (3') cos rs = cos xr cos xs -f cos yr cos ys^ la quale dice che, in assi ortogonali, il coseno dell'angolo di due rette è dato dalla somma dei prodotti dei coseni di direzione dell'una retta per i corrispondenti coseni dell'altra (^). 114. Rapporto direttivo di ima retta. — Per applicare la formola precedente a questioni di geometria analitica, occorre anzitutto saper dedurre dall' e- quazione di una retta gli angoli che questa forma cogli assi coordinati. retta r Consideriamo a tal fine una (1) ax -i- by -}- e = 0, ed indichiamo con s la parallela ad essa condotta per V origine, la quale ha l'equazione ax -f- by = 0, ossia — -- = — (^) La (3'), poiché cosyr = senxr, cosys = senxs, non differisce dalla formola che dà l'espressione di cos (ajr — xs). Si osservi che il metodo qui seguito permette di ritrovare in modo uniforme, e tenendo conto dei segni, tutte le formule della trigonometria piana. Rimandiamo, per gli sviluppi, alla Trigonometria del Baltzer, ed alla Geometria Analitica del D'Ovidio, Gap. III.
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 17 — E sembra appunto che gli
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— espili ampia che chiameremo A^]
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dove si è posto per brevità — 7
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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e fatto z - 263 —
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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— 333 — La prima definisce il p
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 341 — l'equazione della tange
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— 355 — e si noti che, quando M
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I — 357 — zioni della retta VP
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— 359 — a primo grado, si ricon
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i — 367 — a, 6' le tangenti in
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— 369 — Queste proposizioni, di
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— 371 — Segando il primo fascio
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 379 — una conica è iscritta
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— 411 — II) Se nella (2) faccia
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— 413 — 244. Alcune formole rel
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— 415 — dove p è una costante
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— 421 — Un terzo invariante si
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— 439 — Ciò premesso, assumiam
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— 441 — Per enunciare il risult
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— 443 — è indipendente dalla c
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 449 — rette formanti fascio c
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I — 451 — dei segmenti cosi ott
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— 457 — il piano di K' intorno
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— 472 — sistema di coordinate p
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558:
— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564:
— 545 — togliere, introducendo
Page 565 and 566:
— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634:
— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
Page 647 and 648:
— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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