Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 594 — E facile indicare un carattere geometrico, che permetta di distinguere le correlazioni polari dalle correlazioni nulle. Si ri- cerchi, a tal fine, il luogo di un punto (a?, y, 0, ^), che appar- tenga al piano (w', v', w'^ r'), ad esso corrispondente nella correlazione (1). Supposto di aver riferito i punti ed i piani ad un unico sistema di assi coordinati, e scritta quindi la condizione di appartenenza di punto e piano sotto la forma (n.° 312) u' X -\- v'y -f- w' z -{- r't = 0, si osservi che questa, eseguendo le sostituzioni (1), diviene (9) a^^x^ +...-}- a^^t^ -f (a,, -f- a^^)xy -{- {a^ -f- a^^)xz -[-...-[- (^34 -f- «43)^^ = 0. Nelle ipotesi (8), la equazione stessa rappresenta una superficie del secondo ordine (10) aîx"^ -\- «2-2^^ -f- OLzzZ^ + ^"^^ "f" Ô'i^xy + '2>anxz -]- 2(Zi4,a?^ -j- 'ia^^yz -{- 'â^_i,yt -\- âsiZt = 0. Invece, nelle ipotesi (8'), si annullano tutti i coefficienti della (9), la quale è dunque soddisfatta dalle coordinate di ogni punto dello spazio. Concludiamo : Nella correlazione polare^ quei punti, che appartengono ai piani corrispondenti, costituiscono una superficie di secondo ordine {superficie fondamentale della polarità). Al contrario, nella correlazione nulla, ogni punto dello spazio appartiene al piano che gli corrisponde. Questo enunciato lascia prevedere la stretta relazione, che passa fra la teoria delle correlazioni polari e quella delle superficie del secondo ordine (cfr. n.° 188). E poiché lo studio delle correlazioni è qui premesso per illuminare la teoria di- queste superficie, ci limitiamo, nelle righe seguenti, ad aggiun- gere qualche cenno sulle polarità, lasciando da parte le correlazioni nulle Q). (^) Affinchè il lettore possa formarsi una idea delle correlazioni nulle, accennerò qui una generazione cinematica di corrispondenze siffatte, indicata dallo Chasles. Si immagini nello spazio un corpo rigido ABC . . ., al quale venga impresso un movimento, die non sia ne una semplice traslazione, né una rotazione intomo ad un asse. Nel primo istante i punti A,
— 595 — 839. Polarità nello spazio. — Ricordo anzitutto che una polarità nello spazio è rappresentata da quattro relazioni del tipo (1) \ (a.A- = aki) colla condizione (2) ^ =^ 0, o dalle relazioni, risolte rispetto alle coordinate di punti, ( ox = AuU -f- ^2iV + AsiW -f- ^«^j (3) } U,, = ^,,) Di due elementi, che si corrispondono in una correlazione polare, è inutile dire quale si consideri nel primo, e quale nel secondo dei due spazi sovrapposti ; si dirà senz' altro che i due elementi sono mutuamente polari. Cosi, un punto ha un piano polare (determinato dalle (1) ), un piano ha un polo (determinato dalle (3) ), una retta r ha una retta polare r' La polarità, che muta una retta r nella retta r', muta ogni punto di r (o di r') in un piano passante per r' (o per r); dunque, di due rette mutuamente polari., ciascuna è il luogo dei poli dei piani gassanti per V altra. Mentre un punto descrive la retta r, il piano polare ruota intorno alla retta r', generando un fascio proiettivo alla punteggiata su r. In modo analogo si dimostrano i teoremi (cfr. n.'' 188) : Se di due punti il secondo appartiene al piano polare del primo, il primo apparterrà al piano polare del secondo ; i due punti diconsi coniugati, o reciproci, nella polarità. Se di due piani il secondo passa per il polo del primo, il primo passerà per il polo del secondo ; ì due piani diconsi coniugati, o reciproci, nella po- larità. B, C . . . del corpo cominceranno a muoversi in determinate direzioni a, b, e. . . (tangenti in ^, -B, C . . alle traiettorie descritte da questi punti). Si costruiscano ora i piani a, /3, . . . y perpendicolari alle rette a,b,c... in A, B, C .. . rispettivamente. Orbene, quei piani a, /3, y . . . corrispondono a quei punti A, B, C ... in una determinata correlazione nulla, (cfr. n.° 339, es. 19) ). .
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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— 3 — IIF. Lo spazio di piani,
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— 5 — fascio, chiamando proprio
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— 7 — Segue che i punti impropr
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 15 — a') Ritornando alla figu
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— 17 — E sembra appunto che gli
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— 25 — nel piano PSA, devono se
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— 27 — due trilateri omologici
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— 29 — problema generalmente no
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— 35 — Noi possiamo far ciò se
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— espili ampia che chiameremo A^]
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— 47 — Col metodo da n ad n -]-
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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— 61 — Il procedimento si esten
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— 65 — (cc^y) senay senaó nel
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— 67 — ( A Ti C^ infatti se il
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dove si è posto per brevità — 7
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— 79 — omologici e precisamente
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— 85 — notiamo che il punto med
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— so- sia divisa armonicamente da
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— 91 — Capitolo II. Proiettivit
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— 97 — ad es., Xo
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— 107 — da u' ad u. Il punto uu
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— 109 — E importante notare che
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 113 — liari {8 ed 8\ oppure s
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— 115 — u'. 1 punti M, 0, N si
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— 117 — 71. Elementi uniti di u
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— 119 — della proiettivita ABC
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— 121 — proiettività parabolic
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— 123 — A, B, C . . . della cir
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— 125 — Se nella proiettività
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— 127 — è omologico al triango
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— 129 — Supponiamo, al contrari
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— 133 — cìenti delle (4). Con
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— 135 — il teorema duale) la in
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— 137 — la involuzione appartie
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— 139 — Se Z7 è punto doppio d
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— 141 — La involuzione circolar
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— 145 — opposti del triangolo,
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— 147 — menti (n.** 68), od in
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— 149 — dalla determinazione do
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— 151 — distanza. Qua!' è il m
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— 153 — ed è iperbolica, parab
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 157 — Parte Seconda. Geometri
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— 159 — vertice, saranno negati
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— 161 — Proiettiamo i punti Pi,
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— 169 — Di qua si deduce subito
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— 171 - gnano polinomi contenenti
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— 173 — 5) Risolvere i problemi
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— 175 — si può costruire una s
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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— 181 — determinare. Ricordiamo
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— 185 — questa convenzione cost
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— 187 — è espressa dall' annul
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— 189 — Pi Q, si inverta il ver
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— 191 — Osseryazìone. — La c
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— 193 — un punto (n.° 89), rif
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— 195 — torno chiuso curvilineo
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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— 199 — Ma per le (1) X = x' -^
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— 201 — Esercìzi. — 1) Come
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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— 215 — UN. La ipotesi è dunqu
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— 225 — Esercizi, — 1) Assunt
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— 229 — I.'' Definire e studiar
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— 233 — curva, e si riguarderan
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— 235 — trica a cui obbedisce u
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— 243 — punti dovrà tendere a
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% — 245 — continuità, si consi
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— 261 - punti B, B' di ordinate y
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e fatto z - 263 —
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— 265 — delle note disuguaglian
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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i — 275 — 6) Un' altra generazi
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— 279 — proiettino da S, S' uno
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— 285 — e viceversa^ ed ogni re
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I — 287 — (dove Aik ^ il comple
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i — 303 — e) Se finalmente il c
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l — 305 — trova che le coordina
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i — 307 — reale), q^ = q^, giac
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i — 309 — * 185. Uguaglianza fr
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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l — 313 — 17) Due piani simili
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— 315 — tutti per uno stesso pu
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 319 — nate della retta p', ch
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 323 — dremo nella teoria dell
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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— 327 — 7) Sopra ogni retta di
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— 331 — curva x^ -\- y'^ = 0; c
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— 333 — La prima definisce il p
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 339 — 1) Si formino le deriva
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— 341 — l'equazione della tange
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(7) A = — 343 — l'altro dalla r
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— 345 — 304. Metodo delle polar
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— 347 — F (u^ V, w), come la co
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— 349 b) Le intersezioni di una c
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— 351 — e sega pure il secondo
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— 353 — dai quali si conducano
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— 355 — e si noti che, quando M
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I — 357 — zioni della retta VP
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— 359 — a primo grado, si ricon
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— 361 — in punti coincidenti da
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— 363 — gli ortocentri dei quat
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— 365 — 32) Dal teorema dell' e
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i — 367 — a, 6' le tangenti in
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— 369 — Queste proposizioni, di
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— 371 — Segando il primo fascio
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 379 — una conica è iscritta
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— 381 — reale e distinta da que
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— 383 — tre coniche degenen (a
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— 385 — Se ora si suppone che d
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— 391 — Im- sicché ± Vx^ -\-
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— 395 — dove À, fi. V sono par
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— 399 — La costruzione degli as
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— 403 — gonali^ proponiamoci di
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— 419 — caso. Ma si può chiede
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— 421 — Un terzo invariante si
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— 423 — dunque: nel passaggio d
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— 427 — 252. Teoremi di Apollon
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— 429 — 3) Scrivere l' equazion
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— 431 — 17) Dati sulla conica A
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— 433 — diagonale PQ; queste pe
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— 435 — Capitolo V. Proprietà
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— 437 — la involuzione dunque
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— 439 — Ciò premesso, assumiam
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— 441 — Per enunciare il risult
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— 443 — è indipendente dalla c
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- e\c -j- Q cos f) = —
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I — 451 — dei segmenti cosi ott
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— 482 — II. Sia data una riga a
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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— 492 — 6) Retta generica del f
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 511 — Questa rappresenta un p
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— 513 — allora, od esiste un si
Page 533 and 534:
— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
Page 535 and 536:
— 517 — spezzate aventi gli ste
Page 537 and 538:
— 519 — 297. Distanza dì due p
Page 539 and 540:
e quindi , 'cosxr = — , — 521
Page 541 and 542:
— 523 — Per calcolare il seno d
Page 543 and 544:
— 525 — Ora questi risultati, e
Page 545 and 546:
— 527 — Similmente si vede che
Page 547 and 548:
— 629 — quarto vertice dalla fa
Page 549 and 550:
— 531 — ordine uguagliato a zer
Page 551 and 552:
— 533 — perpendicolare. (Es. nu
Page 553 and 554:
— 535 — di geometria elementare
Page 555 and 556:
— 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558:
— 539 — Si osserverà che i nov
Page 559 and 560:
— 541 — cartesiano^ le coordina
Page 561 and 562: ^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564: — 545 — togliere, introducendo
Page 565 and 566: — 547 — genee, giova tuttavia t
Page 567 and 568: — 549 — piani P; riguardata sot
Page 569 and 570: — 551 — Si ha qui una giustific
Page 571 and 572: — 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
Page 573 and 574: — 555 — dove i k l m B una qual
Page 575 and 576: — 557 — Per costruire un punto
Page 577 and 578: — 559 — che si possa dedurre co
Page 579 and 580: — 561 — Il teorema si dimostra
Page 581 and 582: — 563 — come piano XY di un nuo
Page 583 and 584: — 565 — II. — 10) Trovare 1'
Page 585 and 586: — 667 — essere tutte nulle). Al
Page 587 and 588: — 569 — D' altra parte è spess
Page 589 and 590: X — a
Page 591 and 592: — 573 — Se il vertice coincide
Page 593 and 594: — ; 576 — equidistanti dal punt
Page 595 and 596: — 577 — essi (n.° 312). Tra gl
Page 597 and 598: — 579 — dello spazio mediante u
Page 599 and 600: — 581 — quel modo, pur di scegl
Page 601 and 602: -^ 583 — glianze (1). Si conclude
Page 603 and 604: — 585 — una posizione assunta d
Page 605 and 606: — 587 — uniti, ed i cui spigoli
Page 607 and 608: — 589 — piani corrispondenti, s
Page 609 and 610: — 591 — Finalmente se, dato un
Page 611: ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
Page 615 and 616: — 597 — Esercizi. I. — 1) Una
Page 617 and 618: — 599 — si osservi che le condi
Page 619 and 620: — 601 — 18) Assunto r asse di u
Page 621 and 622: — 603 — (n.*' 323), r ellissoid
Page 623 and 624: — 605 — La curva intersezione d
Page 625 and 626: — 607 — punto comune alle due r
Page 627 and 628: — 609 — 345. Per costruire il p
Page 629 and 630: — 611 — P', mentre il coefficie
Page 631 and 632: — 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634: — 615 — questa ipotesi sarà so
Page 635 and 636: — 617 — Due rette siffatte, in
Page 637 and 638: — 619 — quadrica in un punto R
Page 639 and 640: — 621 — una quadrica : due pian
Page 641 and 642: — 623 — esso pure alla quadrica
Page 643 and 644: — 625 — p' ed ì piani n' della
Page 645 and 646: — 627 — zioni lineari fra i coe
Page 647 and 648: — 629 — goli collo stesso verti
Page 649 and 650: — 631 — cano in P la quadrica,
Page 651 and 652: — 633 — Cosi continuando, vedia
Page 653 and 654: — 635 — Segue inoltre che il pr
Page 655 and 656: — 637 — Dualmente, se i sostegn
Page 657 and 658: — 639 — Esse passano tutte per
Page 659 and 660: — 641 — g) / vertici dei quattr
Page 661 and 662: — 643 — autoconiugato rispetto
Page 663 and 664:
— 645 — lungo coniche, che hann
Page 665 and 666:
— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
Page 667 and 668:
— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
Page 691 and 692:
— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
Page 711 and 712:
Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
Page 727 and 728:
— 709 — come risulta dall' Oss.
Page 729 and 730:
— 711 — sopra una stessa retta,
Page 731 and 732:
— 713 — cono dette direzioni as
Page 733 and 734:
— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
Page 741:
— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
Page 753 and 754:
— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
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— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
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— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
show all

Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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