Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

— 238 —
intersezioni di curve corrispondenti nei due sistemi. Noi ci proponiamo
di scrivere la equazione del luogo in coordinate x, y.
Sia
(5) F (x, y) =
la equazione richiesta; esaminiamo quali relazioni passino fra
la (5) e le (3), (4). Notiamo perciò che al nostro luogo appar-
tiene ogni punto Pi (xi, yi), il quale sia comune a due curve
corrispondenti dei sistemi (3),
(4), ad es. alle due curve fi,
goi, che si ottengono attribuendo
al parametro variabile k un par-
ticolare valore ki :
i f(x, y; ki) z= 0,
( 9p(x, y; A;i) = 0.
Segue che, se due valori xi, y\
soddisfano a queste due equa-
zioni, essi determinano un punto
Pi del luogo, e quindi soddisfano
certamente anche all' equazione (5). Si ha cosi la prima
proprietà dell'equazione (5):
I. Se tre numeri xi, yi, ki, sostituiti nelle (3) e (4) (al
posto di X, y, k), verificano quelle equazioni^ allora i primi due
xi, yi verificano l'equazione (5).
Viceversa, se x\^ y\ verificano l'equazione (5), e quindi
sono coordinate di un punto Pi del nostro luogo, allora, per
la legge con cui questo è descritto, devono esistere due curve
corrispondenti fi, (pi dei sistemi (3), (4) che passino per Pi;
e in conseguenza deve esistere un valore ki di k tale, che xi,
2/1, ^1 verifichino tanto la (3), quanto la (4). Abbiamo così la
seconda proprietà dell' equazione (5) :
II. 8e due numeri xi^ yi verificano V equazione (5), deve
esistere un terzo numero ki te/e, cìte xi, yi, ki verifichino in-
sieme la (3) e la (4).
Ora quando tre equazioni (3), (4), (6), le due prime a tre
variabili x, y^ k^ l'ultima a due variabili a;, y^
si trovano legate
tra loro dalle due condizioni I. e II. ora esposte^, si dice che
la (5) è la risultante delle equazioni (3) e (4), dopo la elimi-