Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 638 — quadrica. Segue che una retta secante, rispetto ad una quadrica rigata, ha per polare una nuova retta secante, e, in conseguenza, una retta non secante ha per polare una retta non secante. In altre parole: per una retta si possono condurre, o no, piani tangenti reali ad una quadrica rigata, secondo che la retta sega, o no, in punti reali la superficie. Al contrario, si dimostra che, per una quadrica reale non rigata (ad es. per una sfera), una retta secante ha come polare una retta non secante, e viceversa ; sicché per le rette non secanti possono condursi piani tangenti reali, non già per le rette secanti. Le proprietà generali delle quadriche rigate furono scoperte da MoNGE (1794) e dalla sua Scuola. La generazione mediante forme proiettive fu indicata da Steiner (1832). 368. Fascio di quadriche. — Prima di abbandonare le proprietà proiettive delle quadriche (rigate o no), vogliamo dar un cenno dei fasci e delle schiere di quadriche, limitan- doci a considerare il caso generale. Due quadriche ^ ^ } (p{x, y, z)^b noj' 4- h 2 h.^xy -j- \- è« = 0, hanno in comune infiniti punti (reali o immaginari), costituenti una curva sghemba, che è rappresentata dal sistema delle equazioni (1). Un piano generico sega le due quadriche in due coniche, e quella curva nelle quattro intersezioni di queste coniche (n.*' 226). Perciò la curva dicesi del quarto ordine. Essa può presentare vari casi, che non staremo a distinguere ; ad es., essa può scindersi in due coniche giacenti in piani di- stinti, e secanti la retta intersezione negli stessi due punti, od anche può comporsi dei lati di un quadrilatero sghembo, ecc. Consideriamo ora le infinite quadriche rappresentate dal- l'equazione di secondo grado (2) Xf{x, y, &) + iA(p{x, y, z) = 0, o, ciò che fa lo stesso, dalla (2') f{x, y, z) + k
— 639 — Esse passano tutte per la curva del quarto ordine nominata (che dicesi curva base del fascio), perchè le coordinate di un punto qualsiasi di questa annullano i polinomi (1), e quindi il polinomio (2). a) Per ogni punto dello spazio, che non appartenga alla curva base, passa una ed una sola quadrica del fascio ; giacche, sostituendo nella (2'), al posto di x, y, z, le coordinate del punto, rimane determinato il parametro k. b) Le quadriche di un fascio segano sopra una retta generica coppie di una involuzione; se, ad es., come retta si assume r asse x{y =2 z = 0), il che non costituisce una restrizione (cfr. n." 227), la coppia di punti segata dalla quadrica (2') è rappresentata da (3) (a,,x^ + 2a,,x -|- a,,) -f k{b,,x'^ + 2b,,x + bj = 0, e, al variare di k, descrive una involuzione (n." 83) (^). Dal teorema b) segue : e) Entro un fascio esistono due quadriche, che toccano una retta generica assegnata; i punti di contatto sono coniugati rispetto a tutte le quadriche del fascio. Infatti questi punti sono doppi nella involuzione sopra nominata. Si ricordi che le due quadriche, di cui parla questo enunciato, possono esser rappresentate anche da equazioni a coefficienti immaginari ; una si- mile osservazione si applica a vari enunciati seguenti. d) Le quadriche di un fascio segano, sopra un piano generico, coniche di un fascio. Supposto che il piano secante sia il due coppie (1) Può accadere tuttavia, per particolari posizioni della retta, che le a^x-^ + 20140? + «44 = 0, ò,ia;2 -|- 2buX + 644 = vengano a coincidere, nel qual caso si ha aji : Oli : 044 = b^ : b^ : 644, ed ogni coppia (3) viene a coincidere con quelle. Allora però il valore ^' — r,7 — 477 ~ ~ T^ rende la (3) una identità, e la quadrica del fascio, corrispondente a quel valore di k, contiene la retta. Il caso ecce- zionale si presenta dunque, se la retta appartiene ad una quadrica del fascio ; quella retta ha due punti (reali o immaginari) comuni colla curva base, è una corda di questa curva. Sorvoliamo sul caso, privo di interesse che la retta appartenga a tutte le quadriche del fascio.
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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— 3 — IIF. Lo spazio di piani,
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— 5 — fascio, chiamando proprio
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— 7 — Segue che i punti impropr
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 17 — E sembra appunto che gli
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— 25 — nel piano PSA, devono se
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— 27 — due trilateri omologici
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— 29 — problema generalmente no
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— 35 — Noi possiamo far ciò se
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— espili ampia che chiameremo A^]
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— 47 — Col metodo da n ad n -]-
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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— 65 — (cc^y) senay senaó nel
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dove si è posto per brevità — 7
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— 79 — omologici e precisamente
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— 83 - ^ = — • Ed operando or
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— 85 — notiamo che il punto med
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— so- sia divisa armonicamente da
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— 93 — doppio rapporto dei quat
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- 95 - corrispondono due elementi,
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— 97 — ad es., Xo
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— 105 — e quindi, prendendo le
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— 107 — da u' ad u. Il punto uu
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— 109 — E importante notare che
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 113 — liari {8 ed 8\ oppure s
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— 115 — u'. 1 punti M, 0, N si
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— 117 — 71. Elementi uniti di u
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— 119 — della proiettivita ABC
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— 121 — proiettività parabolic
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— 123 — A, B, C . . . della cir
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— 125 — Se nella proiettività
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— 127 — è omologico al triango
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— 129 — Supponiamo, al contrari
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— 131 — 81. Equazione deiriiivo
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— 133 — cìenti delle (4). Con
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— 135 — il teorema duale) la in
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— 137 — la involuzione appartie
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— 139 — Se Z7 è punto doppio d
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— 141 — La involuzione circolar
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— 145 — opposti del triangolo,
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— 147 — menti (n.** 68), od in
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— 149 — dalla determinazione do
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— 151 — distanza. Qua!' è il m
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— 153 — ed è iperbolica, parab
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 161 — Proiettiamo i punti Pi,
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— 165 — ad es. sotto la forma (
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— 171 - gnano polinomi contenenti
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— 173 — 5) Risolvere i problemi
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— 175 — si può costruire una s
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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— 183 — ed il termine noto, i r
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— 185 — questa convenzione cost
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— 189 — Pi Q, si inverta il ver
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— 193 — un punto (n.° 89), rif
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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— 199 — Ma per le (1) X = x' -^
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— 201 — Esercìzi. — 1) Come
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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— 229 — I.'' Definire e studiar
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% — 245 — continuità, si consi
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— 259 — superiori o inferiori.
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— 261 - punti B, B' di ordinate y
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e fatto z - 263 —
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— 265 — delle note disuguaglian
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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i — 275 — 6) Un' altra generazi
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— 279 — proiettino da S, S' uno
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— 285 — e viceversa^ ed ogni re
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I — 287 — (dove Aik ^ il comple
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i — 301 — *' ed j, generalmente
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i — 303 — e) Se finalmente il c
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i — 309 — * 185. Uguaglianza fr
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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l — 313 — 17) Due piani simili
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— 315 — tutti per uno stesso pu
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 319 — nate della retta p', ch
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 323 — dremo nella teoria dell
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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— 327 — 7) Sopra ogni retta di
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— 331 — curva x^ -\- y'^ = 0; c
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— 333 — La prima definisce il p
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 339 — 1) Si formino le deriva
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— 341 — l'equazione della tange
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(7) A = — 343 — l'altro dalla r
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— 345 — 304. Metodo delle polar
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— 349 b) Le intersezioni di una c
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— 351 — e sega pure il secondo
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— 353 — dai quali si conducano
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— 355 — e si noti che, quando M
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I — 357 — zioni della retta VP
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— 359 — a primo grado, si ricon
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— 361 — in punti coincidenti da
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— 363 — gli ortocentri dei quat
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i — 367 — a, 6' le tangenti in
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— 369 — Queste proposizioni, di
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— 371 — Segando il primo fascio
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 379 — una conica è iscritta
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— 415 — dove p è una costante
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— 417 — nelle (a), basterà far
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— 419 — caso. Ma si può chiede
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— 421 — Un terzo invariante si
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— 423 — dunque: nel passaggio d
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— 425 — nelle quali le incognit
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— 429 — 3) Scrivere l' equazion
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— 433 — diagonale PQ; queste pe
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— 435 — Capitolo V. Proprietà
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— 437 — la involuzione dunque
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— 441 — Per enunciare il risult
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— 443 — è indipendente dalla c
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 449 — rette formanti fascio c
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— 482 — II. Sia data una riga a
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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— 492 — 6) Retta generica del f
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— 494 — 21) Condizioni perchè
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 499 — e la terza coordinata {
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— 509 — se invece sta sopra xy^
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— 511 — Questa rappresenta un p
Page 531 and 532:
— 513 — allora, od esiste un si
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
Page 535 and 536:
— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
Page 541 and 542:
— 523 — Per calcolare il seno d
Page 543 and 544:
— 525 — Ora questi risultati, e
Page 545 and 546:
— 527 — Similmente si vede che
Page 547 and 548:
— 629 — quarto vertice dalla fa
Page 549 and 550:
— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
Page 553 and 554:
— 535 — di geometria elementare
Page 555 and 556:
— 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558:
— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
Page 561 and 562:
^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564:
— 545 — togliere, introducendo
Page 565 and 566:
— 547 — genee, giova tuttavia t
Page 567 and 568:
— 549 — piani P; riguardata sot
Page 569 and 570:
— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
Page 573 and 574:
— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
Page 577 and 578:
— 559 — che si possa dedurre co
Page 579 and 580:
— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
Page 599 and 600:
— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
Page 603 and 604:
— 585 — una posizione assunta d
Page 605 and 606: — 587 — uniti, ed i cui spigoli
Page 607 and 608: — 589 — piani corrispondenti, s
Page 609 and 610: — 591 — Finalmente se, dato un
Page 611 and 612: ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
Page 613 and 614: — 595 — 839. Polarità nello sp
Page 615 and 616: — 597 — Esercizi. I. — 1) Una
Page 617 and 618: — 599 — si osservi che le condi
Page 619 and 620: — 601 — 18) Assunto r asse di u
Page 621 and 622: — 603 — (n.*' 323), r ellissoid
Page 623 and 624: — 605 — La curva intersezione d
Page 625 and 626: — 607 — punto comune alle due r
Page 627 and 628: — 609 — 345. Per costruire il p
Page 629 and 630: — 611 — P', mentre il coefficie
Page 631 and 632: — 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634: — 615 — questa ipotesi sarà so
Page 635 and 636: — 617 — Due rette siffatte, in
Page 637 and 638: — 619 — quadrica in un punto R
Page 639 and 640: — 621 — una quadrica : due pian
Page 641 and 642: — 623 — esso pure alla quadrica
Page 643 and 644: — 625 — p' ed ì piani n' della
Page 645 and 646: — 627 — zioni lineari fra i coe
Page 647 and 648: — 629 — goli collo stesso verti
Page 649 and 650: — 631 — cano in P la quadrica,
Page 651 and 652: — 633 — Cosi continuando, vedia
Page 653 and 654: — 635 — Segue inoltre che il pr
Page 655: — 637 — Dualmente, se i sostegn
Page 659 and 660: — 641 — g) / vertici dei quattr
Page 661 and 662: — 643 — autoconiugato rispetto
Page 663 and 664: — 645 — lungo coniche, che hann
Page 665 and 666: — 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
Page 667 and 668: — 649 — %• 1 (^))> o può non
Page 669 and 670: — 651 — che si riconosce essere
Page 671 and 672: — 653 — di centro, i paraboloid
Page 673 and 674: — 655 — 2^0 ) della quadrica (n
Page 675 and 676: — 657 — triangolo, insieme al c
Page 677 and 678: — 659 — Concludiamo che una qua
Page 679 and 680: — 661 — del n.° 378^ la quale
Page 681 and 682: k — 663 — Ritornando al problem
Page 683 and 684: — 665 — drangolo ; ed è autopo
Page 685 and 686: — 667 — 4) Date le equazioni di
Page 687 and 688: — 669 - a) Supposto anzitutto che
Page 689 and 690: — 671 — rappresentante un cono
Page 691 and 692: — 673 — mentre k cresce in valo
Page 693 and 694: — 675 — Il piano y =: iavece se
Page 695 and 696: — 677 — 387. Iperboloide a due
Page 697 and 698: — 679 — il piano polare di ques
Page 699 and 700: — 681 — mente che la quarta coo
Page 701 and 702: questa, colla traslazione di assi a
Page 703 and 704: — 685 — Per procurarci le equaz
Page 705 and 706: — 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
Page 729 and 730:
— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
Page 733 and 734:
— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
Page 753 and 754:
— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
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— 741 — 197. Intersezioni di un
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— 743 — Cap. V. Proprietà foca
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— 745 — 300. Angolo di due rett
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— 747 — 362. Quadriche a punti
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Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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